Gerçek değer sıfır olduğunda göreceli hata nasıl hesaplanır?

32

Gerçek değer sıfır olduğunda göreceli hatayı nasıl hesaplarım?

Diyelim ki ve . Göreceli hatayı şu şekilde tanımlarsam: $x_{true} = 0$ $x_{test}$

$\text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{true}}$

Sonra göreceli hata her zaman tanımsızdır. Öyleyse tanımı kullanıyorum:

$\text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{test}}$

Sonra göreceli hata her zaman% 100'dür. Her iki yöntem de işe yaramaz görünüyor. Başka bir alternatif var mı?

error measurement-error

— OKJ
kaynak

İlk tanımınızı kullanarak Monte Carlo simülasyonlarındaki parametre yanlılığı ile ilgili aynı soruyu sordum. Parametre

— değerimden biri 0dı

2

Çözüm, bu durumda göreceli hata kullanmamaktır.

— Marc Claesen

2

Sorunuzun mektubu olmasa bile, niyetine cevap veren bir seçenek, göreceli hata

2 (x_{true} - x_{test}) / (| x_{true} | + | x_{test} |)

$2(x_\text{true} - x_\text{test}) / (|x_\text{true}| + |x_\text{test}|)$ . (Kullanım

0

$0$ olduğunda

x_{true} = x_{test} = 0

$x_\text{true}=x_\text{test}=0$ ). Bu özel çözeltisi (hiçbir rasgele sabitleri içerir çünkü) ölçüm birimi içinde bir değişim içinde değişmez olduğu evrenseldir.

— whuber

@whuber Var olanlardan daha üstün göründüğü için bu yorumu bir cevap olarak göndermeyi düşünmelisiniz.

— Silverfish

@Silver Haklısın - Yorum olarak bir cevap gönderdiğiniz için özür dilerim. Bu nedenle, bu yorumu bir cevap olarak biraz genişlettim.

— whuber

39

Amaca bağlı olarak birçok alternatif var.

Yaygın olanı laboratuvar kalite kontrol işlemlerinde kullanılan "Göreli Yüzde Farkı" veya RPD'dir. Görünüşe göre çok farklı formüller bulabilmenize rağmen, hepsi iki değerin farkını ortalama büyüklükleriyle karşılaştırmaya gelir:

d_{1} (x, y) = \frac{x - y}{(| x | + | y |) / 2} = 2 \frac{x - y}{| x | + | y |} .

$d_1(x,y) = \frac{x - y}{(|x| + |y|)/2} = 2\frac{x - y}{|x| + |y|}.$

Bu bir imza pozitif oldukları zaman ifade aşan ne zaman ve negatif aşan . Değeri her zaman ile arasındadır . Payda mutlak değerleri kullanarak negatif sayıları makul şekilde ele alır. Gibi bulabilirim referanslar, çoğu New Jersey DEP Remediasyon Programı Veri Kalitesi Değerlendirme ve Veri Kullanılabilirlik Değerlendirmesi Teknik Rehberlik , mutlak değerini kullanmak onlar sadece göreceli hatasının büyüklüğü ilgilenen çünkü. $x$ $y$ $y$ $x$ $-2$ $2$ $d_1$

Bir on Wikipedia makalesi Bağıl Değişim ve Fark gözlemlemektedir

d_{\infty} (x, y) = \frac{| x - y |}{maksimum (| x |, | y |)}

$d_\infty(x,y) = \frac{|x - y|}{\max(|x|, |y|)}$

kayan nokta sayısal algoritmalarında göreceli bir tolerans testi olarak kullanılır. Aynı makale, ve gibi formüllerin genelleştirilebileceğini de göstermektedir. $d_1$ $d_\infty$

d_{f} (x, y) = \frac{x - y}{f (x, y)}

$d_f(x,y) = \frac{x - y}{f(x,y)}$

burada işlevi doğrudan ve büyüklüğüne bağlıdır (genellikle ve pozitif olduğunu varsayarsak ). Örnek olarak maksimum, min ve aritmetik ortalamalarını ( ve mutlak değerlerini alarak ve almadan ) sunar, ancak bunlardan biri harmonik geometrik ortalama gibi diğer ortalamaları düşünebilir. Yani ve araçları . ( , , ise limitine karşılık gelir. $f$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $y$ $\sqrt{|x y|}$ $2/(1/|x| + 1/|y|)$ $L^p$ $((|x|^p + |y|^p)/2)^{1/p}$ $d_1$ $p=1$ $d_\infty$ $p\to \infty$ .) Bir ve beklenen istatistiksel davranışına göre bir seçilebilir . Örneğin, yaklaşık lognormal dağılımlarda, geometrik ortalama için çekici bir seçim olacaktır çünkü bu durumda anlamlı bir ortalamadır. $f$ $x$ $y$ $f$

Bu formüllerin çoğu, payda sıfıra eşit olduğunda zorluklarla karşılaşır. olduğunda ya mümkün olmayan ya da farkı sıfıra ayarlamak zararsızdır . $x=y=0$

Tüm bu tanımların temel değişmezlik özelliğini paylaştığını unutmayın : göreceli fark işlevi ne olursa olsun , değişkenler ile eşit şekilde yeniden ölçeklendirildiğinde değişmez : $d$ $\lambda \gt 0$

d (x, y) = d (λ x, λ y) .

$d(x,y) = d(\lambda x, \lambda y).$

nin göreceli bir fark olduğunu düşünmemizi sağlayan özellik budur . Böylece, özellikle, gibi değişmeyen bir işlev $d$

d (x, y) = ? \frac{| x - y |}{1 + | y |}

$d(x,y) =?\ \frac{|x-y|}{1 + |y|}$

sadece uygun değil. Sahip olduğu erdemler ne olursa olsun, göreceli bir farkı ifade etmez .

Hikaye burada bitmiyor. Değişmezliğin etkilerini biraz daha zorlamak için bile verimli bulabiliriz.

Sipariş edilen tüm gerçek sayı çiftlerinin kümesi , , ile Gerçek Projektif Satır . Hem topolojik anlamda hem de cebirsel anlamda, bir çemberdir. Herhangi bir , başlangıç noktası üzerinden benzersiz bir çizgi belirler . olduğunda eğimi $(x,y)\ne (0,0)$ $(x,y)$ $(\lambda x, \lambda y)$ $\mathbb{RP}^1$ $\mathbb{RP}^1$ $(x,y)\ne (0,0)$ $(0,0)$ $x\ne 0$ $y/x$ ; Aksi takdirde eğimini “sonsuz” (ve olumsuz ya da pozitif) olarak görebiliriz. Bu dikey çizginin bir mahallesi aşırı büyük pozitif veya aşırı büyük negatif eğime sahip çizgilerden oluşur. Onların açısı cinsinden bu tür tüm satırları parameterize olabilir ile . Her tür ile ilişkili , dairenin bir noktasıdır, $\theta = \arctan(y/x)$ $-\pi/2 \lt \theta \le \pi/2$ $\theta$

(ξ, η) = (marul (2 θ), günah (2 θ)) = (\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}, \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}) .

$(\xi, \eta) = (\cos(2\theta), \sin(2\theta)) = \left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \frac{2xy}{x^2+y^2}\right).$

Dolayısıyla, dairede tanımlanan herhangi bir mesafe, göreceli bir farkı tanımlamak için kullanılabilir.

Bunun nereye gidebileceğinin bir örneği olarak, daire üzerindeki normal (Öklid) mesafeyi göz önünde bulundurun; böylece iki nokta arasındaki mesafe, aralarındaki açının boyutudur. Göreceli fark en az , (veya ve zıt işaretleri olduğunda karşılık gelir). Bu açıdan, ve pozitif sayıları için doğal bir bağıl fark , bu açıya olan mesafe olacaktır: $x=y$ $2\theta = \pi/2$ $2\theta = -3\pi/2$ $x$ $y$ $x$ $y$

d_{S} (x, y) = | 2 \arctan (\frac{y}{x}) - π / 2 | .

$d_S(x,y) = \left|2\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi/2\right|.$

İlk olarak, bu göreceli mesafe- ama olduğunda bile çalışır . Dahası, havaya uçmaz, fakat bunun yerine (işaretli bir mesafe olarak) ve arasında sınırlıdır , çünkü bu grafik aşağıdaki gibidir: $|x-y|/|y|$ $y=0$ $-\pi/2$ $\pi/2$

Bu, göreceli farklılıkları ölçmek için bir yol seçerken seçimlerin ne kadar esnek olduğunu gösterir.

— whuber
kaynak

Kapsamlı cevap için teşekkürler, bu satır için en iyi referansın ne olduğunu düşünüyorsunuz: "kayan nokta sayısal algoritmalarında göreceli bir tolerans testi olarak kullanılır. Aynı makale aynı zamanda d1d1 ve d∞d∞ gibi formüllerin de olabileceğine işaret eder. generalized "

— Hammad Haleem

1

btw, nevermind Bunun için akademik bir referans buldum :) tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1985.10479385

— Hammad Haleem,

4

Bu neden cevap olarak seçilmedi? (Bu uygun bir yorum değilse üzgünüm, ama bu şu ana kadarki en iyi cevap.)

— Brash Dengesi

2

@Brash Duyguyu takdir ediyorum. Kabul, özgün teklif sahibinin bulunduğu ildir: hiç kimse bunu geçersiz kılamaz (kabul edilen postayı silmeden hariç). Bazı durumlarda, sizin gibi hissettiğim zaman, bazı cevapların diğerlerinden daha iyi ya da daha dikkat çekici olduğunu açık ve net olarak düşündüğümüzü açıkça belirten yorumlar yayınlarım. Bu herhangi bir şeyi değiştirmese bile, bu tür yorumlar malzemeyi gelecekteki okuyucular için biraz daha yararlı veya anlaşılabilir hale getirebilir: sonuçta bu sitedeki çalışmamızın noktası budur.

— whuber

1

@KutalmisB Şunu fark ettiğiniz için teşekkür ederiz: "Min" hiç bir yere ait değil. Görünüşe göre daha sonra basitleştirdiğim , ve olası tüm işaretlerini taşıyan daha karmaşık bir formülün bir parçası olmuş gibi görünüyor . Kaldırdım.

x

$x$

y

$y$

— whuber

11

İlk olarak, göreli hatanın hesaplanmasında genellikle mutlak değeri aldığınızı unutmayın.

Sorunun ortak bir çözümü hesaplamaktır.

göreceli hata = \frac{| x_{doğru} - x_{Ölçek} |}{1 + | x_{doğru} |} .

$\text{relative error}=\frac{\left| x_{\text{true}}- x_{\text{test}} \right|}{1+\left|x_{\text{true}} \right|} .$

— Brian Borchers
kaynak

3

Bu, değerler için seçilen ölçü birimlerine bağlı olarak değişmesi nedeniyle problemlidir.

— whuber

1

Bu kesinlikle doğru. Bu, problem için mükemmel bir çözüm değildir, ancak iyi ölçeklendiğinde oldukça iyi çalışan ortak bir yaklaşımdır .

x

$x$

— Brian Borchers

Cevabınızı "iyi ölçeklendirilmiş" ile ne demek istediğinizi açıklayabilir misiniz? Örneğin, verilerin, ile mol / litre arasındaki konsantrasyonlar için tasarlanmış sulu bir kimyasal ölçüm sisteminin kalibrasyonundan , yani üç önemli basamaktan oluşan bir hassasiyet elde edebileceğini varsayalım . Bu nedenle, "göreceli hata" nız açıkça yanlış ölçümler dışında sürekli sıfır olacaktır. Bunun ışığında, bu verileri tam olarak nasıl yeniden ölçeklendirirsiniz?

0

$0$

0.000001

$0.000001$

— whuber

1

Örneğiniz, değişkenin iyi ölçeklenemediği bir örnek. "İyi ölçeklendirilmiş" ifadesiyle, bu değişkenin, 1'in yakınında küçük bir aralıktaki (örneğin birkaç büyüklük sırasındaki) değerleri alması için ölçeklendirildiğini kastediyorum. daha ciddi ölçeklendirme sorunları var ve bu basit yaklaşım yeterli olmayacak.

— Brian Borchers

2

Bu yaklaşım için herhangi bir referans var mı? Bu yöntemin adı? Teşekkür ederim.

— CroCo

0

Bir süre bunun hakkında biraz kafam karıştı. Sonunda, bunun nedeni, göreceli hatayı sıfıra göre ölçmeye çalışıyorsanız, o zaman basit olmayan bir şeyi zorlamaya çalışıyorsunuzdur.

Eğer düşünürseniz, sıfırdan ölçülen hatayla ilgili hatayla karşılaştığınızda göreceli hatayı karşılaştırdığınızda elmaları portakallarla karşılaştırırsınız, çünkü sıfırdan ölçülen hata ölçülen değere eşittir (işte bu yüzden bölü% 100 hata alırsınız). test numarası).

Örneğin, manometre basıncının (atmosferik basınçtan bağıl basınç) mutlak basınca karşı ölçüm hatasını düşünün. Gösterge basıncını mükemmel atmosfer koşullarında ölçmek için bir cihaz kullandığınızı ve cihazınızın% 0 hata kaydetmesi için atmosferik basınç noktasını ölçtüğünü söyleyin. Sağladığınız denklemi kullanarak ve ilk olarak bağıl hatayı hesaplamak için ölçülen gösterge basıncını kullandığımızı : Sonra ve ve% 0 hatası almazsınız, bunun yerine tanımsızdır. Bunun nedeni, gerçek yüzde hatasının aşağıdaki gibi mutlak basınç değerlerini kullanması gerektiğidir:

relative error = \frac{P_{g a u g e, t r u e} - P_{g a u g e, t e s t}}{P_{g a u g e, t r u e}}

$\text{relative error} = \frac{P_{gauge, true}-P_{gauge, test}}{P_{gauge, true}}$

P_{g a u g e, t r u e} = 0

$P_{gauge, true}=0$

P_{g a u g e, t e s t} = 0

$P_{gauge,test}=0$

relative error = \frac{P_{a b s o l u t e, t r u e} - P_{a b s o l u t e, t e s t}}{P_{a b s o l u t e, t r u e}}

$\text{relative error} = \frac{P_{absolute, true}-P_{absolute, test}}{P_{absolute, true}}$ Şimdi ve ve% 0 hata alıyorsunuz. Bu göreceli hatanın doğru uygulanmasıdır. Gösterge basıncını kullanan orijinal uygulama "nispi değerin" nispi hatası "ndan farklı olan" nispi değerin nispi hatası "gibiydi. Göreceli hatayı ölçmeden önce gösterge basıncını mutlak değerine dönüştürmeniz gerekir.

P_{a b s o l u t e, t r u e} = 1 a t m

$P_{absolute, true}=1atm$

P_{a b s o l u t e, t e s t} = 1 a t m

$P_{absolute,test}=1atm$

Sorunuza çözüm, göreceli hatayı ölçerken mutlak değerlerle uğraştığınızdan emin olmanızdır, böylece sıfır bir olasılık değildir. O zaman gerçekten göreceli bir hata alıyorsunuzdur ve bunu bir belirsizlik ya da gerçek yüzde hatanızın bir ölçüsü olarak kullanabilirsiniz. Göreceli değerlere sadık kalmanız gerekiyorsa, mutlak hata kullanmanız gerekir, çünkü göreceli (yüzde) hata referans noktanıza bağlı olarak değişecektir.

0'a somut bir tanım koymak zor ... "Sıfır değeri 0 olarak kullanıldığında, hiçbir nesnenin bulunmadığı anlamına gelen 0 olan tamsayı sıfırdır." - Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

Nit toplama işleminden çekinmeyin, ancak sıfır aslında hiçbir şey ifade etmiyor, orada değil. Bu nedenle göreceli hata hesaplanırken gösterge basıncını kullanmanın bir anlamı yoktur. Ölçer basıncı, yararlı olsa da, atmosferik basınçta hiçbir şey olmadığını varsayar. Bunun böyle olmadığını biliyoruz, çünkü 1 atm'lık mutlak bir baskı var. Böylece, hiçbir şey ile ilgili göreceli hata, sadece yok, tanımsız.

Buna karşı çıkmakta özgürsünüz, basitçe söylemek gerekirse: en alttaki değere bir tane eklemek gibi hızlı düzeltmeler hatalı ve doğru değil. Hatayı en aza indirmeye çalışıyorsanız, yine de yararlı olabilirler. Olsa bile, belirsizlik doğru ölçümler yapmaya çalışıyorsanız, çok değil ...

— Tim Johnsen
kaynak

0

MAPE’yi bulmak,

Bu çok tartışılabilir bir konudur ve birçok açık kaynak katılımcısı yukarıdaki konuda tartıştılar. Şimdiye kadarki en etkili yaklaşımı geliştiriciler takip ediyor. Daha fazla bilgi için lütfen bu PR'a başvurun .

— layman_brother
kaynak