Genelleştirilmiş Doğrusal Model (GLM) için her zaman standart bir bağlantı işlevi var mı?

GLM'de, pdf ile temel dağılım için bir skaler $Y$ ve varsayarsak $\theta$

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$ O gösterilebilir

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$ . Bağlantı işlevi

g (\cdot)

$g(\cdot)$ aşağıdakileri karşılarsa,

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$ burada

X^{'} β

$X'\beta$ doğrusal kestirimcidir, o zaman

g (\cdot)

$g(\cdot)$ bu model için standart bağlantı işlevi olarak adlandırılır.

Benim sorum, bir GLM için her zaman kanonik bir bağlantı işlevi var mı? Başka bir deyişle, $A'(\theta)$ her zaman ters çevrilebilir mi? Standart bağlantı işlevinin olması için gerekli koşullar nelerdir?

generalized-linear-model exponential-family

— Wei
kaynak

$A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Varyans ve dağılım parametresi sıfır olmadığından (hatta pozitif) kesinlikle artan bir işlevdir ve ters çevrilebilir olmalıdır. $A'(\theta)$

Ancak, bu ailenin sonsuz bir varyansa sahip dağılımları olup olmadığından emin değilim. Bu örnekleri bulamadım.

— Vainius
kaynak