Anlar olmadığında CLT örneği

Düşünün $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Bu sonsuz anlar olsa da,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Bunu Levy'nin Süreklilik Teoremini kullanarak göstermeye çalıştım, yani sol tarafın karakteristik fonksiyonunun standart normalin karakteristik fonksiyonuna yakınlaştığını göstermeye çalıştım. Ancak bunu göstermek imkansız görünüyordu.

Bu sorun için sağlanan bir ipucu her , yani ve . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

Ancak, Lyapunov koşulunun karşılandığını gösteremedim. Bunun nedeni, nin istediğim gibi davranmamasıdır. İsteyeyim yalnızca değerleri almak için 1 ve 1, ancak inşa edilir şekilde, değerleri alabilir $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
kaynak

kesiyorsanız , kesilen değişkenin alabileceği değerler için son paragrafın dikkatlice kontrol edin. Her halükarda, bunun yerine kesmeyi deneyin , sonucu almak için Borel-Cantelli ve ardından Slutsky'yi kullanın. Kesilmiş parçada Lindeberg veya Lyapunov'u kullanabilmelisiniz (aslında bunu kontrol etmedim).

n

$n$

1

$1$

— kardinal

Bunun için üzgünüm. "Sonsuz" anlar olarak değiştirildi

— Greenparker

@cardinal tekrar alabileceği olası değerleri ve günlük terimine bir taban ekledim. Aksi takdirde değerler doğru görünür. 1'de , için istediğim değerleri elde edeceğim ve normale yakınsama almak için Lindeberg koşulunu uygulayabileceğim. Bununla birlikte, bunun

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

" " nedir? Sen örnekleri ya da her birden çok örneği vardır aldığı bir bağlam tarif değil - nereden, nasıl söz belirtilmiştir verilen bu gösterimin tek olası okuma hakkında o ortalama ifade etmesidir - olduğunu her zaman sonsuzdur ve bir sayıdır, bir dağılım değildir. Bu nedenle size iid örneklerini vermeyi tasarladığı hayal etmek zorunda ama bize bunu söylemek gerekiyor ve özellikle örnek boyutu ne şart gerekiyor.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

İşte @ cardinal'in yorumuna dayanan bir cevap:

Örnek alanın, stokastik süreçlerin ve olmasına izin verin, burada . Lindeberg koşulu ( Wikipedia'nın gösterimine uygun olarak ) şu şekilde karşılanır: herhangi biri için olduğunda olarak $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

Ayrıca , Borel-Cantelli tarafından böylece . Farklı bir şekilde ifade , ve sadece kesin olarak neredeyse kesin olarak farklılık gösterir. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Tanımla ve eşdeğer için . için örnek bir yol seçin, öyle ki sadece son derece fazla . Bu terimleri . Bu yoldan ayrıca in sonlu . Böyle bir yol için burada . Ayrıca, yeterince büyük , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Borel-Cantelli sonucunu neredeyse kesinlikle sınırlı olduğu gerçeğiyle birlikte , gereksinimlerimize uygun bir örnek yolun olasılığının bir olduğunu görüyoruz. Başka bir deyişle, farklı terimler neredeyse kesinlikle sıfıra gider. Böylece Slutsky'nin teoremine göre yeterince büyük , burada . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— Ekvall
kaynak