Geometrik dağılım ve hipergeometrik dağılım neden böyle denir?

Neden geometrik dağılım ve hipergeometrik dağılıma sırasıyla "geometrik" ve "hipergoemetrik" deniyor?

PMF'lerinin özel bir form alması nedeniyle mi? Teşekkürler!

distributions terminology history

— Tim
kaynak

Evet, terimler olasılık kütle fonksiyonlarını (pmfs) ifade eder.

2.500 yıl önce, Öklid ( Elemanlarının VIII. Ve IV. Kitaplarında ) ortak oranlara sahip uzunluk dizilerini inceledi. . Bir noktada bu tür sekanslar "geometrik ilerlemeler" olarak bilinmeye başladı (her ne kadar "geometrik" terimi benzer bir nedenden ötürü, "aritmetik" olarak adlandırılanlar da dahil olmak üzere diğer birçok normal diziye de kolayca uygulanabilirdi).

parametresi ile geometrik dağılımın olasılık kütle fonksiyonu geometrik bir ilerleme oluşturur $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Burada ortak oran . $1-p$

Birkaç yüz yıl önce eliptik eğriler, diferansiyel denklemler ve diğer derinden birbirine bağlı matematik alanlarının çalışmalarında bu tür ilerlemelerin büyük bir genellemesi önemli hale geldi. Genelleme, ve pozisyonlarında birbirini izleyen terimler arasındaki nispi oranların değişebileceğini varsayar , ancak bu varyasyonun doğasını sınırlar: oranların belirli bir rasyonel işlevi olması gerekir . Bunlar geometrik ilerlemeyi (rasyonel fonksiyonun sabit olduğu) "aştığı" veya "aştığı" için , eski Yunanca ("hyper") önekinden hipergeometrik olarak adlandırıldılar. . $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$

Olasılık parametreleri ile hiper- fonksiyonu fonksiyonu ve bir formu vardır $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

uygun . Ardışık olasılıkların oranı bu nedenle $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

derece nin rasyonel bir fonksiyonu . Bu olasılıkları (belirli bir tür) hipergeometrik ilerlemeye yerleştirir. $k$ $(2,2)$

— whuber
kaynak

Teşekkürler! PMF'leri geometrik veya hipergeometrik ilerlemeler oluşturan başka dağılımlar var mı?

— Tim

Bir pmf geometrik bir ilerleme oluşturuyorsa, kaydırılmış, yeniden ölçeklenmiş ve / veya kesik geometrik dağılım olmalıdır. Eğer hipergeometrik derece (2,2) ilerlemesi oluşturuyorsa, benzer bir sonuç geçerlidir. Sonlu bir değerle özetlenen herhangi bir seri ile ilişkili dağılımlar vardır ve bu nedenle hipergeometrik dağılım, diğer birçok dağıtım için genelleme yapar (farklı rasyonel işlevler kullanarak). Çoğunun adı yok. Bir istisna, pmf derecesi hipergeometrik olan negatif binom dağılımıdır (1,1).

— whuber

Teşekkürler! Poisson dağılımının pmf'si özel bir dizi / ilerleme mi oluşturuyor? Oran parametresi ile bir Poission dağılımı verildiğinde , . Pmf bazı özel seriler veya ilerlemeler oluşturur mu?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— Tim

Evet, bu rasyonel bir derece (0,1) işlevidir, bu nedenle hipergeometrik ilerlemenin genel tanımına uyar.

— whuber

Bir kaynağa göre , pmf (k) geometrik dağılımı için pmf (k-1) ve pmf (k + 1) 'nin geometrik ortalamasıdır. İki A ve B sayısının geometrik ortalaması dır . Klasik olarak bu problem, geometrik bir problem olan A ve B uzunluğuna sahip bir dikdörtgene eşit alana sahip bir karenin kenarlarının uzunluğunu bulmak olarak yorumlandı. $\sqrt{A B}$

— veryshuai
kaynak

Kaynağınız cevabımın başında (biraz eliptik olarak) bahsettiğim spekülasyon türüne başvuruyor. İnternet, aynı iddiayı yapan insanlarla doludur, ancak geometrik bir araç olarak aritmetik bir ortalama bulmak aynı derecede kolay olduğu için, sonunda bu özellik ("geometrik" bir yapıya sahip olmak) hiçbir şeyi açıklamamaktadır. Bu terimlerin gerçekten nasıl ortaya çıktığını anlamamıza yardımcı olmak için "geometrik" ve "aritmetik" in gerçek tarihsel kullanımlarını izleyebilen bir otorite bulmak çok ilginç olurdu.

— whuber