Çok düzeyli modelleme için gösterim

Formula ihtiyaçları (kullanarak düzeyli modeli eğitim için belirtmek lmergelen lme4 Rkütüphanede) her zaman beni alır. Ben sayısız ders kitabı ve öğretici okudum, ama asla düzgün anlamadı.

İşte bu öğreticiden bir denklemle formüle edilmiş görmek istediğim bir örnek . Ses frekansını cinsiyetin (dişilerin genel olarak erkeklerden daha yüksek perdeli sesi vardır) ve kişinin farklı senaryolarda (kibar veya gayri resmi bir şekilde cevap verip vermediği) davranışı olarak modellemeye çalışıyoruz. Ayrıca, subjectsütundan da görebileceğiniz gibi , her kişi birkaç kez ölçümlere tabi tutulmuştur.

> head(politeness, n=20)
   subject gender scenario attitude frequency
1       F1      F        1      pol     213.3
2       F1      F        1      inf     204.5
3       F1      F        2      pol     285.1
4       F1      F        2      inf     259.7
5       F1      F        3      pol     203.9
6       F1      F        3      inf     286.9
7       F1      F        4      pol     250.8
8       F1      F        4      inf     276.8
9       F1      F        5      pol     231.9
10      F1      F        5      inf     252.4
11      F1      F        6      pol     181.2
12      F1      F        6      inf     230.7
13      F1      F        7      inf     216.5
14      F1      F        7      pol     154.8
15      F3      F        1      pol     229.7
16      F3      F        1      inf     237.3
17      F3      F        2      pol     236.8
18      F3      F        2      inf     251.0
19      F3      F        3      pol     267.0
20      F3      F        3      inf     266.0

subject, genderVe attitudefaktör ile ( informalve femaletaban seviyeleri olarak kabul attitudeve genderaşağıdaki denklemler). Şimdi, bir fikir, her biri için farklı engelleme içeren bir model yetiştirmek subjectve scenario:

politeness.model=lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1|subject) + (1|scenario), data=politeness)

Gösterimi anladığım doğru ise, bu şuna karşılık gelir:

$y_i=a^1_{j[i]}+a^2_{k[i]}+\beta\cdot$ attitude $_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender $_{\text{male}_i}$

burada temsil eder veri noktası, O anlamına gelir grubu seviyesini ve için O anlamına gelir grubu düzeyinde için veri noktası. ve ikili göstergelerdir. $i$ $i^{th}$ $j[i]$ subject $k[i]$ scenario $i^{th}$ attitude $_\text{pol}$ gender $_\text{male}$

Tutum için rastgele eğimler tanıtmak için şunu yazabiliriz:

politeness.model = lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario), data=politeness)

Yine, eğer anlayışım açıksa, bu şuna karşılık gelir:

$y_i = a^1_{j[i]} + a^2_{k[i]} + (\beta^1_{j[i]} + \beta^2_{k[i]})\cdot$ attitude $_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender $_{\text{male}_i}$

Şimdi, aşağıdaki Rkomut hangi denkleme karşılık gelir?

politeness.null = lmer(frequency ~ gender +
 (1+attitude|subject) +  (1+attitude|scenario), data=politeness)

r multilevel-analysis lme4-nlme

— abhinavkulkarni
kaynak

çok mantıklı değil; tutum açısından nüfusun ortalama eğiminin sıfır olduğu varsayılmaktadır ...

— Ben Bolker

@BenBolker: Hey, lütfen bir denklem formunda yazabilir misiniz? Önceki denklemlerim doğru mu? Son modelde hala ve attitudeüzerinde koşullandırıldığını görüyorum . subjectscenario

— abhinavkulkarni

Yazardım

~ attitude + gender + (1|subject) + (1|scenario)

gibi

y_{i} \sim β_{0} + β_{1} \cdot I (attitude = pol) + β_{2} I (gender = male) + b_{1, j [i]} + b_{2, k [i]} + ϵ_{i} b_{1} \sim N (0, σ_{1}^{2}) b_{2} \sim N (0, σ_{2}^{2}) ϵ \sim N (0, σ_{r}^{2})

$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]} + \epsilon_i \\ b_1 \sim N(0,\sigma^2_1) \\ b_2 \sim N(0,\sigma^2_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$ burada sabit etki katsayısını gösterir , rastgele bir değişkeni gösterir, bir gösterge işlevidir (bu temelde yukarıda söylediklerinizle aynıdır, sadece biraz farklı gösterim).

β

$\beta$

b

$b$

I

$I$

~ attitude + gender + (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario)

ve buna yanıt olarak denek arasında varyasyon ekler attitudeve scenario(rastgele etkiler kısmını eşdeğer olarak yazabiliriz (attitude|subject) + (attitude|scenario), yani kesişme örtük olarak bırakabiliriz; bu bir zevk meselesidir). şimdi

y_{i} \sim β_{0} + β_{1} \cdot I (attitude = pol) + β_{2} I (gender = male) + b_{1, j [i]} + b_{3, j [i]} I (attitude = pol) + b_{2, k [i]} + b_{4, k [i]} I (attitude = pol) + ϵ_{i} {b_{1}, b_{3}} \sim MVN (0, Σ_{1}) {b_{2}, b_{4}} \sim MVN (0, Σ_{2}) ϵ \sim N (0, σ_{r}^{2})

$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \\ b_{1,j[i]} + b_{3,j[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + b_{2,k[i]} + b_{4,k[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \epsilon_i \\ \{b_1,b_3\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_1) \\ \{b_2,b_4\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$ burada ve yapılandırılmamış varyans-kovaryans matrisleridir, yani simetrik ve pozitiftir (yarı) kesin ancak başka kısıtlaması yok: ve benzer şekilde .

Σ_{1}

$\Sigma_1$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

Σ_{1} = (\begin{array}{cc} σ_{1}^{2} & σ_{13} \\ σ_{13} & σ_{3}^{2} \end{array})

$\Sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} \sigma^2_1 & \sigma_{13} \\ \sigma_{13} & \sigma^2_3 \end{array} \right)$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

Terimleri aşağıdaki gibi gruplandırmak öğretici olabilir: böylece hangi rasgele etkilerin kesişmeyi etkilediğini ve hangisinin tutum tepkisini etkilediğini görebilirsiniz.

y_{i} \sim (β_{0} + b_{1, j [i]} + b_{2, k [i]}) + (β_{1} + b_{3, j [i]} + b_{4, k [i]}) \cdot I (attitude = pol) + β_{2} I (gender = male) + ϵ_{i}

$y_i \sim (\beta_0 + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]}) + \\ ( \beta_1 + b_{3,j[i]} + b_{4,k[i]}) \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \epsilon_i$

Şimdi, sabit efekt attitudeterimini (yani set veya terimi formülden ), (her şeyi yeniden yazmadan), rastgele efektlerin sıfır ortalamaya sahip olduğu varsayıldığını görebilirsiniz. denekler ve senaryolar arasındaki tutumlara verilen ortalama yanıtın tamamen sıfır olacağını varsayarken, denekler ve senaryolar arasında hala farklılıklar vardır. Bunun istatistiksel açıdan hiçbir zaman mantıklı olmadığını söylemeyeceğim , ancak nadiren olur. Bu konunun zaman zaman r-sig-mixed-models@r-project.org posta listesinde tartışılıyor ... (veya bir yerde StackExchange üzerinde tartışılabilir - değilse, iyi bir takip yapabilir -up SE sorusu ...) $\beta_1=0$ attitude

— Ben Bolker
kaynak