Normal dağılmış iki rasgele değişkenin toplamına katkının sezgisel açıklaması

İki normal dağılım bağımsız rastgele değişkenler varsa ve anlamına ile ve ve standart sapmalar ve ve I keşfetmek , koşullu dağılımı (herhangi bir hata yapılmaması varsayarak) ve ve belirli bir , normalde anlamına ile dağıtılan ve standart sapma $X$ $Y$ $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Koşullu standart sapmaların verilen aynı olması şaşırtıcı değildir , eğer biri yükselirse diğeri aynı miktarda aşağı inmelidir. Koşullu standart sapmanın bağlı olmaması ilginçtir . $c$ $c$

, orijinal standart sapmalarla değil, orijinal varyanslarla orantılı olan fazladan pay aldıkları koşullu araçlardır . $(c - \mu_X - \mu_Y)$

Örneğin, sıfır anlamı varsa, ve standart sapmalar ve daha sonra durumunu biz olurdu ve , yani sezgisel olarak oranının daha doğal olacağını düşünmeme rağmen oranında . Herkes bunun için sezgisel bir açıklama yapabilir mi? $\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

Bu bir Math.SE sorusu tarafından kışkırtıldı.

normal-distribution conditional-probability

— Henry
kaynak

Soru , ve bakarak kolayca azalır . $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

Koşullu dağılımlar normaldir. Böylece, her birinin ortalama, medyan ve modu rastlantısaldır. Modlar, eğrisiyle sınırlandırılmış ve iki değişkenli PDF'sinin yerel maksimumu koordinatlarında gerçekleşir . Bu, bu iki değişkenli PDF'nin konturunu belirtir ve kısıt eğrisi paralel teğetlere sahiptir. (Bu Lagrange çarpanları teorisidir.) Çünkü herhangi bir kontur denklemi için bazı sabit (yani, tüm konturlar elips şeklindedir), degradeleri paralel olmalı, var olduğunda öyle ki $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

resim açıklamasını buraya girin

Koşullu dağılımların (ve dolayısıyla araçların) modlarının , SD'lerin değil, varyansların oranıyla belirlendiği hemen anlaşılır .

Bu analiz, ilişkili ve için de çalışır ve sadece toplam için değil, herhangi bir doğrusal kısıtlama için de geçerlidir. $X$ $Y$

— whuber
kaynak

Bu çok etkileyici ve istediğimden çok daha eksiksiz. Diyagramdan ve elipse tanjantın elipsin merkezinden geçmediğine dair bir açıklamadan memnun olurdum, bu nedenle teğet kırmızı nokta, daha yüksek standart sapmaya sahip rastgele değişkenden orantısız olarak daha fazla almalıdır.

— Henry

İyi ifade edilmedi. Demek istediğim, merkezden kırmızı noktaya doğru olan çizginin tanjana dik olmadığıydı.

— Henry