Sabit etkiler modelinde zamanla değişmeyen değişkenler nasıl tutulur

On yıldır büyük bir İtalyan firmasının çalışanları hakkında verilerim var ve erkek-kadın kazançlarındaki cinsiyet farklılığının zaman içinde nasıl değiştiğini görmek istiyorum. Bu amaçla toplanmış OLS çalıştırıyorum: burada günlük , , kişiye ve zamana göre farklılık gösteren ortak değişkenler içerir, yıl mankenleridir ve , bir işçi erkek ise ve aksi halde sıfır ise bire eşittir.

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$

y

$y$

X_{i t}

$X_{it}$

d_{t}

$d_t$

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$

Şimdi bazı ortak değişkenlerin gözlemlenmemiş sabit etkilerle ilişkilendirilebileceğine dair bir endişem var. Ancak sabit etkiler (iç) tahmincisi veya ilk farklılıkları kullandığımda cinsiyet kuklalarını kaybederim çünkü bu değişken zamanla değişmez. Rastgele etki tahmincisini kullanmak istemiyorum çünkü çoğu zaman çok gerçekçi olmayan ve tutması muhtemel olmayan varsayımlar koyduğunu söyleyen insanlar duyuyorum.

Cinsiyeti kukla tutmanın ve aynı zamanda sabit etkileri kontrol etmenin herhangi bir yolu var mı? Bir yol varsa, cinsiyet değişkenine ilişkin hipotez testlerinin hatalarıyla ilgili diğer sorunlara kümelenmeli veya ilgilenmem gerekiyor mu?

— user42263
kaynak

Yanıtlar:

Cinsiyet mankenini sabit etkiler regresyonunda tutmanın birkaç potansiyel yolu vardır.

Tahmin birimi içinde
sen için havuzlanmış En Küçük Kareler modeline kıyasla benzer bir model olduğunu varsayalım burada değişkenler önceki gibidir. Şimdi ve tanımlanamayacağına dikkat edin, çünkü iç tahminci bunları sabit etki ayırt . Olduğu göz önüne alındığında baz yıl için mesafesidir , bu dönemde kazanç cinsiyet etkisidir. Bu durumda tespit edebileceğimiz şeyler

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$ çünkü bunlar sizin zaman kuklalarınızla etkileşime girer ve cinsiyet değişkeninizin ilk zaman dilimine göre kısmi etkilerindeki farklılıkları ölçer. Bu, zaman içinde bir artış gözlemlerseniz bu, erkekler ve kadınlar arasındaki kazanç farkının genişlediğinin bir göstergesidir.

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

İlk Fark Tahmincisi
Zaman içinde erkekler ve kadınlar arasındaki farkın genel etkisini bilmek istiyorsanız, aşağıdaki modeli deneyebilirsiniz: burada değişkeni zamanla değişmeyen cinsiyetle etkileşime girer kukla. Şimdi ilk uygulama farklılıkları alırsak ve terk ve aldığınız Sonra

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$ ve kazanç cinsiyet farkını belirleyebilirsiniz . Böylece son regresyon denklemi şöyle olacaktır: ve ilginizi çeker. Güzel olan şey, bunun herhangi bir istatistiksel yazılımda kolayca uygulanmasıdır, ancak bir zaman kaybını kaybedersiniz.

γ

$\gamma$

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

Hausman-Taylor Tahmincisi
Bu tahminci, sabit etki ile ilişkisiz olduğunu varsayabileceğiniz ile potansiyel olarak ilişkili olanlar arasında ayrım yapar. Ayrıca zamanla değişen ve zamanla değişmeyen değişkenler arasında ayrım yapar. Let ile ilintisiz göstermektedirler değişkenleri ve en ve let olanlar da cinsiyet değişkeni sadece zaman değişmeyen değişken olduğunu söylüyorlar. Hausman-Taylor tahmincisi rasgele efekt dönüşümünü uygular: burada tilde gösterimi anlamına gelir $c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$ burada rasgele efekt dönüşümü ve , her bireyin zaman ortalamasıdır. Bu, kaçınmak istediğiniz olağan rasgele etki tahmincisi gibi değildir, çünkü ile korelasyonu kaldırmak için grup değişkenleri kullanılır . İçin alettir . Aynı şey zamanla değişmeyen değişkenler için de geçerlidir. Dolayısıyla, cinsiyet değişkenini sabit etki ile potansiyel olarak ilişkilendirilecek şekilde belirtirseniz

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ , bu nedenle zamanla değişmeyen değişkenlerden daha fazla zaman değişkenli olmalısınız.

Tüm bunlar biraz karmaşık gelebilir, ancak bu tahminci için hazır paketler vardır. Örneğin, Stata'da karşılık gelen komuttur xthtaylor. Bu yöntem hakkında daha fazla bilgi için Cameron ve Trivedi (2009) "Stata Kullanan Mikroekonometri" bölümünü okuyabilirsiniz. Aksi takdirde, biraz daha kolay olan önceki iki yönteme sadık kalabilirsiniz.

Çıkarım
Hipotez testleriniz için sabit etkiler regresyonunda ne yapmanız gerektiği dışında düşünülmesi gereken fazla bir şey yoktur. Hatalardaki otokorelasyona dikkat etmelisiniz, örneğin, bireysel kimlik değişkenini kümelendirerek. Bu, otokorelasyonla ilgilenen kümeler (bireyler) arasında keyfi bir korelasyon yapısına izin verir. Referans için tekrar Cameron ve Trivedi (2009) 'e bakınız.

— Andy
kaynak

Cinsiyet mankenini korumanın bir başka potansiyel yolu , zaman değişmez değişkenleri olan sabit bir etki modeli için Mundlak'ın (1978) yaklaşımıdır . Mundlak'ın yaklaşımı, cinsiyet etkisinin zamanla değişen değişkenlerin grup araçları üzerine yansıtılabileceğini öne sürecektir.

Mundlak, Y. 1978: Zaman serileri ve kesit verilerinin toplanması üzerine. Econometrica 46: 69-85.

— Emeryville
kaynak

Başka bir yöntem, bağımlı değişken olarak ortalama hatayı kullanarak ikinci aşama denklemindeki zamanla değişmeyen katsayıları tahmin etmektir.

İlk olarak, modeli FE ile tahmin edin. Buradan ve tahminini alırsınız . Basitlik için yıl etkilerini unutalım. Tahmin hatasını önceden olduğu gibi tanımlayın : $\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$

{\hat{u}}_{i t} \equiv y_{i t} - X_{i t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

Doğrusal belirleyici : $\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} \equiv \frac{\sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{i}}{T} = \bar{y_{i t}} - {\bar{x}}_{i} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

Şimdi, aşağıdaki ikinci aşama denklemini düşünün:

{\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

Cinsiyetin gözlemlenmeyen faktörlerle ilişkisiz olduğu varsayılarak . Daha sonra, delta'nın OLS tahmincisi tarafsız ve zaman açısından tutarlıdır (bu, olduğunda tutarlıdır ). $c_{i}$ $\delta$ $T \rightarrow \infty$

Yukarıdakileri kanıtlamak için orijinal modeli tahminci : $\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} \hat{β} + δ m a l e_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

Bu tahmincinin beklentisi:

E ({\bar{u}}_{i}) = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} E (\hat{β}) + δ m a l e_{i} + E (c_{i}) + \frac{\sum_{t = 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

FE tutarlılığı için varsayımlar geçerliyse, ve tarafsız bir tahmincisidir . Böylece: $\hat{\beta}$ $\beta$ $E(\epsilon_{it}) = 0$

E ({\bar{u}}_{i}) = δ m a l e_{i} + E (c_{i})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

Yani, tahmincimiz modelin zamanla değişmeyen bileşenlerinin tarafsız bir tahmincisidir .

Tutarlılık ile ilgili olarak, bu öngörücünün olasılık sınırı:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m a l e_{i} + p lim_{T \to \infty} c_{i} + p lim_{T \to \infty} (\frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Yine, FE varsayımlar, verilen tutarlı bir tahmin olup ve sıfır olan, buna ait ortalama hata terimi yakınsak. Bu nedenle: $\hat{\beta}$ $\beta$

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Yine, öngörücümüz, modelin zamanla değişmeyen bileşenlerinin tutarlı bir tahmincisidir .

— luchonacho
kaynak

Mundlak chamberlain cihazı bunun için mükemmel bir araçtır. Genellikle ilişkili rasgele etkiler modeli olarak adlandırılır, çünkü zamanla değişken değişkenler için sabit etkileri dolaylı olarak tahmin etmek ve zamanla değişmeyen değişkenler için rastgele etkileri tahmin etmek için rasgele etki modelini kullanır.

Bununla birlikte, istatistiksel yazılımlarda, bunu rastgele etki modeli olarak uygularsınız, ancak tüm zaman değişkenli değişkenlerin araçlarını eklemeniz gerekir.

— Martin Paul
kaynak