Düzgün ve normal dağılım oranı nedir?

Let $X$ bir eş dağılımını takip etmek ve $Y$ normal bir dağılım izleyin. hakkında ne söylenebilir? $\frac X Y$ ? Bunun için bir dağıtım var mı?

Ortalama sıfır ile iki normalin oranının Cauchy olduğunu buldum.

— rrpp
kaynak

Değeri için,

dağılımına eğik çizgi dağılımı

Y / X

$Y/X$ denir . Karşılıklı bir isim veya kapalı bir form var mı bilmiyorum.

— David J. Harris

Ve her ikisinin de ait olduğu daha büyük sınıf oran dağılımları gibi görünüyor !

— Nick Stauner

@ DavidJ.Harris Oldukça öyle; +1. Eğik çizginin sağlamlık çalışmalarında birkaç kez kullanıldığını gördüm. Belki

X / Y

$X/Y$ - ters eğik çizgi olarak - " ters eğik çizgi dağıtımı " olarak adlandırılmalıdır .

— Glen_b

@rrpp Standart bir

veya genel bir

mi söz ediyorsunuz? İkincisi ise, o zaman

vb.

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

— Olup

cevaplarınız için hepinize teşekkür ederim. @wolfies

olan

pozitif ortalama sahiptir

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

Yanıtlar:

Rasgele değişken pdf : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

burada olduğunu varsaydım (bu standart durumu iç içe geçirir ). Mesela parametre ise [farklı sonuçlar elde edilecek , ancak prosedür tam olarak aynıdır. ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

Ayrıca, ve ile : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

Ardından, ürününün pdf'sini ararız , diyelim ki : $V = X*W$ $h(v)$

Ben kullanıyorum nerede mathStatica 'ın TransformProductasıl gritties otomatik hale getirmek işlevini ve nerede Erfhata fonksiyonunu ifade eder: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Hepsi tamam.

Arsalar

İşte pdf'in iki grafiği:

Parsel 1: , , ... ve ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

2.Parça: ,,, $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Monte Carlo çek

Burada, hiçbir hatanın akmadığından emin olmak için Plot 2 vakasının hızlı bir Monte Carlo kontrolü:
,,, $\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Mavi çizgi ampirik Monte Carlo pdf'dir ve kırmızı kesik çizgi yukarıdaki teorik pdf . İyi görünüyor :) $h(v)$

— Wolfies
kaynak

dağılımını bulmak mümkündür ilk ilkelerinden , buradave. kümülatif olasılık fonksiyonunu düşünün: $Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

İki ve vakasını ele alalım . Eğer , daha sonra $Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ . Benzer şekilde, eğer , sonra $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ . $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

$z>0$ $(X,Y)$

Entegrasyon Bölgesi

Böylece

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

$Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} tecrübe (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

Yukarıdaki integral, aşağıdaki dönüşüm dizisi kullanılarak değerlendirilebilir:

$u=\frac{x}{z}$
$v=u-\mu$
$v$ $v$

Elde edilen integraller, vermek üzere basitleştirilebilir.

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [tecrübe (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - tecrübe (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

$\Phi(x)$ $z<0$

Bu cevap simülasyon ile doğrulanabilir. R'deki aşağıdaki komut dosyası bu görevi gerçekleştirir.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Doğrulama için birkaç grafik:

$Y\sim N(0,1)$
$Y\sim N(1,1)$
$y\sim N(1,2)$

civarındaki grafiklerde görülen teorik cevabın altını çizmek $z=0$

— Comp_Warrior
kaynak

+1 Çok hoş! Temel ilkelerden türetme her zaman tatmin edicidir ve grafikler okuyucunun ne yaptığınızı anında kavramasına yardımcı olur.

— whuber

$Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

resim açıklamasını buraya girin

— Nick Stauner
kaynak

aşırı kuyruklar yoğunluğu mutasyona uğratıyor. Dağıtım oldukça Cauchy gibidir. (Meraktan, neden kullanmıyorsunuz runif? Daha deyimsel ve daha hızlı görünüyor)

— Glen_b-Monica

Çünkü görünüşe göre R hakkında o kadar çok şey bilmiyorum! :) Bahşiş için teşekkürler!

— Nick Stauner

telaşa gerek yok. Hız farkı çok büyük değil, 10 ^ 7 element ile fark etmek için yeterli. hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))

— Bakmaya

Vaov! Yeterince emin. Korkarım bu yoğunluk planlarını oldukça yanıltıcı yapıyor! Bu histogramda düzenleyeceğim ...

— Nick Stauner

Tamam. Telaşa gerek yok. Bu durumda nclass'ı daha küçük yapmak isteyebilirsiniz. İdeal olarak çubuklar çok dar olmalı, sadece siyah çizgiler olmamalı.

— Glen_b