Bilinen tüm dağıtımlar neden imimodal?

13

Hiçbir multimodal dağılım bilmiyorum.

Bilinen tüm dağılımlar neden tek biçimli? Birden fazla moda sahip "ünlü" dağıtım var mı?

Tabii ki, dağılımların karışımları genellikle çok modludur, ancak birden fazla moda sahip "karışım olmayan" dağılımların olup olmadığını bilmek istiyorum.

distributions mode

— Miroslav Sabo
kaynak

5

"Bilinen" dağılımlardan ziyade "standart" dağılımlardan bahsediyorsunuz

— Stéphane Laurent

12

Ne yaklaşık beta ile ?

α = β = 0.5

$\alpha=\beta=0.5$

— amip diyor Reinstate Monica

1

Sınırlı bimodal dağılımları önemsemiyorsanız , Wikipedia ayrıca U-kuadratik ve arsin dağılımından da bahseder . Bence bunlar sadece beta dağıtımının özel durumları ... Vikipedi de çok modlu dağılımların doğal oluşumlarından bazı örneklerden bahsediyor .

— Nick Stauner

12

@ StéphaneLaurent: "Marka-adı dağıtımları" nı seviyorum , çünkü isimlendirilmenin kendi başına bir dağıtım için herhangi bir özel durum anlamına gelmediğini ifade etmek için. "Bilinen" dağılımlar, Loch-Ness canavarı veya karanlık madde gibi geri kalanların keşfedilmeyi bekleyen bir yerde olabileceğini söylüyor.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

5

Excellent @Scortchi, harika kelime hazinesi! Karşılaştığım birçok matematikçi olmayan bilim adamı, adsız bir dağılımın olmadığı izlenimi altında. Belki de bunun arkasında daha derin bir felsefi gerçek vardır, bir ismin ve bu isimle gösterilen şeyin karışıklığı (Russell'ın dediği gibi, "Köpek 'kelimesi bir köpeğe benzemez")

— Stéphane Laurent

17

Sorunun ilk kısmı, soruya yapılan yorumlarda yanıtlanmaktadır: bol miktarda "marka adı" dağıtımı, ve ile herhangi bir Beta dağıtımı gibi multimodaldir . O zaman sorunun ikinci kısmına dönelim. $(a,b)$ $a\lt 1$ $b\lt 1$

Tüm kesikli dağılımlar açıkça (tek atomlu atomların) karışımlarıdır.

Sürekli dağılımların çoğunun da tek modlu dağılımların karışımları olduğunu göstereceğim. Bunun arkasındaki sezgi basittir: PDF yatay bir şekilde engebeli bir grafikten tek tek çıkıntıları “zımparalayabiliriz”. Yumrular, her biri açıkça modimod olmayan karışım bileşenleri haline gelir.

Sonuç olarak, belki de PDF'leri son derece süreksiz olan bazı olağandışı dağılımlar dışında , sorunun cevabı "hiçbiri" dir: kesinlikle sürekli, ayrık olan veya bu ikisinin bir kombinasyonu olan tüm çok-modlu dağılımlar, tek-olmayan dağılımların karışımlarıdır.

PDF'leri sürekli olan sürekli dağılımları düşünün (bunlar "kesinlikle sürekli" dağılımlardır). (Süreklilik bir sınırlama değildir; yalnızca süreksizlik noktalarının ayrık olduğu varsayılarak daha dikkatli analizlerle daha da rahatlatılabilir.) $F$ $f$

Oluşabilecek sabit değerlerin "platolarıyla" başa çıkmak için, bir "mod" ( tek bir nokta olabilir) aralığı olacak şekilde tanımlayın . $m = [x_l, x_u]$ $x_l=x_u$

$f$ üzerinde sabit bir değeri vardır örneğin . $m,$ $y$
$f$ , kesinlikle içeren hiçbir aralıkta sabit değildir . $m$
Pozitif bir sayı vardır maksimum değeri öyle ki ile elde edilen eşit . $\epsilon$ $f$ $[x_l-\epsilon, x_u+\epsilon]$ $y$

Let herhangi bir modu olmak . Çünkü süreklidir, aralıkları vardır ihtiva eden olan içinde azalmayan olan ve artmayacak (uygun bir aralık değil, sadece bir nokta olan) (bu da uygun bir aralıktır). Izin vermek tüm bu değerlerin ve bu tür tüm değerlerin üstünlüğü olsun. $m = [x_l, x_u]$ $f$ $f$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $m$ $f$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$ $x_l^\prime$ $x_u^\prime$

Bu yapı, grafik üzerinde bir "kambur" tanımlamıştır uzanan için . , ve daha büyük olsun . Yapım , içinde , kesinlikle içeren uygun bir aralık olan noktaları kümesi (çünkü veya ). $f$ $x_l^\prime$ $x_u^\prime$ $y$ $f(x_l^\prime)$ $f(x_u^\prime)$ $x$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $f(x)\ge y$ $m^\prime$ $m$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$

şekil

Çok modlu bir PDF'nin bu çiziminde , yatay eksende kırmızı bir nokta ile modu tanımlanır. Dolgunun kırmızı kısmının yatay ölçüde aralığıdır : bu mod ile tespit tümseğin nokta . Bu kamburun tabanı yüksekliğindedir . Orijinal PDF, kırmızı dolgunun ve mavi dolgunun toplamıdır. Mavi dolgunun yakınında yalnızca bir modu olduğunu unutmayın ; orijinal mod kaldırıldı. $m=[0,0]$ $m^\prime$ $m$ $y\approx 0.16$ $2$ $[0,0]$

Yazmauzunluğu tanımlamak $|m^\prime|$ $m^\prime$

p_{m} = {Pr}_{F} (m^{'}) - y | m^{'} |

$p_m = {\Pr}_F(m^\prime) - y|m^\prime|$

ve

f_{m} (x) = \frac{f (x) - y}{p_{m}}

$f_m(x) = \frac{f(x) - y}{p_m}$

zaman ve , aksi. (Bu, bu arada sürekli bir işlev haline getirir .) Pay, çıktığı miktardır ve paydası ve grafiği arasındaki alandır . Dolayısıyla negatif değildir ve toplam alan : olasılık dağılımının . Inşaat ile benzersiz bir mod . $x \in m^\prime$ $f_m(x)=0$ $f_m$ $f$ $y$ $p_m$ $f$ $y$ $f_m$ $1$ $m$

Ayrıca inşaat ile, fonksiyon

f_{m}^{'} (x) = \frac{f (x) - p_{m} f_{m} (x)}{1 - p_{m}}

$f_m^\prime(x) = \frac{f(x) - p_mf_m(x)}{1 - p_m}$

Resim bir PDF . (Açıkçası ise, geriye hiçbir şey kalmaz bu da başlamak için tek modlu olmamalıdır.) Dahası, aralığında herhangi bir mod yoktur (burada sabittir, bu yüzden önceki dikkatli tanımı aralık olarak bir mod gerekli). Ayrıca, $p_m\lt 1$ $p_m=1$ $f,$ $m^\prime$

f (x) = p_{m} f_{m} (x) + (1 - p_{m}) f_{m}^{'} (x)

$f(x) = p_m f_m(x) + (1-p_m)f_m^\prime(x)$

tek modlu PDF ve PDF bir karışımıdır . $f_m$ $f_m^\prime$

Bu prosedürü (sürekli işlevlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak hala sürekli bir işlevdir ve daha önce olduğu gibi devam etmemizi sağlar) ile modları dizisi ; karşılık gelen ağırlık dizileri ; ve PDF'ler Sınırlayıcı sonuç vardır (a) düzleştirildiği aralık, önceki düzleştirilmemiş uygun bir aralık içerir. $f_m^\prime$ $m=m_1, m_2, \ldots$ $p_1=p_m, p_2=p_{m_2}, \ldots$ $f_1=f_m, f_2=f_{m_2}, \ldots.$ $f_i$ $i-1$ ve (b) gerçek sayılar, bu aralıkların sayılabilir sayısından daha fazlasına ayrılamaz. Limitin herhangi bir modu olamaz ve bu nedenle sabittir, bu sıfır olmalıdır (aksi takdirde integrali ayrılır). Sonuç olarak, bir karışım olarak ifade edilmiştir (belki de benzersiz değildir, çünkü modların seçilme sırası önemli olacaktır) $f$

f (x) = \sum_{i} p_{i} f_{i} (x)

$f(x) = \sum_i p_i f_i(x)$

unimodal dağılımlar, QED.

— whuber
kaynak

7

Unimodal tarafından, OP açıkça sadece bir iç mod (yani köşe çözümleri hariç) olduğunu düşünüyorum. Bu yüzden soru gerçekten soruyor ...

why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?

$\text{why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?}$

yani çoğu marka dağıtımları neden şöyle görünür:

... artı veya eksi biraz çarpıklık veya bazı süreksizlikler? Soru bu şekilde ortaya çıktığında, Beta dağılımı geçerli bir karşı örnek olmayacaktır.

OP'nin varsayımının bazı geçerliliği var gibi görünüyor: en yaygın marka dağıtımları birden fazla iç moda izin vermiyor. Bunun teorik nedenleri olabilir. Örneğin, Pearson ailesinin bir üyesi olan (Beta'yı içeren) herhangi bir dağılım, tüm aileyi tanımlayan ana diferansiyel denkleminin bir sonucu olarak mutlaka (iç) tek modlu olacaktır. Ve Pearson ailesi en tanınmış marka isimlerinin çoğunu iç içe geçiriyor.

Yine de, bazı marka sayaç örnekleri ...

Karşı örnek

Marka adı karşı örneklerinden biri, pdf ile dağılımıdır: $\text{Sinc}^2$

f (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{π x^{2}}

$f(x)=\frac{\sin ^2(x)}{\pi x^2}$

gerçek hatta tanımlanır. bir çizimi : $\text{Sinc}^2$

Belki de bu sınıfla ilgili kardiyo ve dağılım ailesini ... pdf grafikleri ile ekleyebiliriz:

Yansıtılan marka dağıtımlarının ailesi de olası marka yarışmacıları olabilir (yine de, bunlar 'hile çözümü' olarak düşünülebilir ... ama yine de marka adlarıdır) burada gösterilen Reflected Weibull gibi:

— Wolfies
kaynak

1

Benim, komplosunun elbette bazı negatif değerleri var gibi görünüyor! (Bu bir çizim artefaktı olabilir mi?) ... Ve kardioid dağılımları her biri sadece bir iç moda sahip gibi görünüyor.

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

— whuber

1

Merhaba @whuber ... artefakt yeniden kabul etmeliyim (bunu Mathematica SE'ye götüreceğim !). Re cardiod ailesi: fikir bir kişi gibi bir aile alanını genişletmek olabilir ve sinüs dalgası gibi, vermeye devam :)

— wolfies

1

(+1) Bu garip bir eser: son çiziminiz (yansıtılmış dağılımların) onu sergilemiyor gibi görünüyor. Nerede olduklarını görmek için grafiğinde komplo noktalarının oluşumunu izleyebilirsiniz ; Küçük negatif değerlerin az sayıda noktanın eğrisinin aşılması olabileceğinden şüpheleniyorum.

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

— whuber

Bence sadece çizilen çizgi eksen çizgisinden daha kalın olduğundan, sıfıra yakın olduğunda ekseni 'aşmak' gibi görünüyor. Çizgi daha ince olarak çizilirse, eser kaybolur.

— Wolfies

Ancak, alt figürünüzde, eksenden daha kalın çizgiler içeren böyle bir eser yoktur.

— whuber

3

Hiç düşünemeyeceğiniz hiç olmadığı anlamına gelmez.

Unimodal olmayan "bilinen" dağıtımları adlandırabilirim.

Örneğin, ve her ikisi de olan bir Beta dağıtımı . $\alpha$ $\beta$ $<1$

http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

ayrıca bak

http://en.wikipedia.org/wiki/U-quadratic_distribution

(Bununla birlikte, bu yoruma rağmen, beta dağıtımının özel bir durumu değildir. Ancak, iki ailenin çakışması var.)

Karışım dağılımları kesinlikle bilinmektedir ve bunların birçoğu multimodaldir.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

U kuadratik, kesik bir Beta dağılımıdır.

— becko

1

Alfa-eğri-normal dağılımının (Elal-Olivero 2010) bir PDF'si vardır:

\frac{{(1 - α \frac{x - μ}{σ})}^{2} + 1}{2 + α^{2}} φ (\frac{x - μ}{σ}),

$\frac{\left(1-\alpha\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2+1}{2+\alpha^2} \varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$

nerede standart Gauss PDF olduğunu. $\varphi$

İçin dağıtım bimodaldir. için örnek çizim : $|\alpha|>1.34$ $\mu=1,\sigma=0.5,a=2$

— corey979
kaynak