Beklenen kız ve erkek doğum oranı

Eleştirel düşünme için iş görüşmesi yetenek testinde bir soru ile karşılaştım. Böyle bir şey gider:

Zorganya Cumhuriyeti'nin çok garip gelenekleri var. Çiftler sadece kız çocukları olmasını ister, çünkü sadece kadınlar ailenin zenginliğini devralabilir, bu nedenle erkek çocukları varsa, kız olana kadar daha fazla çocuğu vardır. Bir kızları varsa çocuk sahibi olmayı bırakırlar. Zorgania'da kızların erkek çocuğa oranı nedir?

Soru yazarı tarafından verilen model cevabına katılmıyorum, ki bu yaklaşık 1: 1'dir. Gerekçe, herhangi bir doğumun, her zaman% 50'si erkek veya kadın olma şansına sahip olacağıydı.

Eğer G kızların sayısıysa ve B ülkedeki erkeklerin sayısıysa, beni \ text {E} [G]: \ text {E} [B] 'nin daha matematiksel bir cevabı ile ikna edebilir misiniz ?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Çocuksuz başla

adımı tekrarla

{

Hala çocuğu olan her çiftin bir çocuğu vardır. Çiftlerin yarısı erkek, yarısı kadındır.

Kadın olan çiftler çocuk sahibi olmayı bırakır

}

Her adımda eşit sayıda erkek ve kadın elde edersiniz ve çocuk sahibi olan çiftlerin sayısı yarı yarıya azalır (yani, kadın olanların bir sonraki adımda çocuğu olmaz)

Yani, herhangi bir zamanda eşit sayıda erkek ve kadınınız olur ve adım adım çocuğu olan çiftlerin sayısı yarı yarıya düşer. Daha fazla çift yaratıldıkça, aynı durum tekrarlanır ve diğer her şey eşit olur, nüfus aynı sayıda kadın ve erkeği içerecektir.

ailedeki erkeklerin sayısı olsun . Bir kızları olur olmaz, dururlar.$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Eğer bir çocuğun erkek olma olasılığıysa ve cinsiyetler çocuklar arasında bağımsızsa, bir ailenin erkek olmasıyla bitmesi olasılığı yani erkek sahibi olma ve sonra bir kız çocuğu olma olasılığı . Beklenen sayı erkek olan Kaydeden aldığımız k p ( x = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , k e X = ∞ iken Σ k = 0 k s k ⋅ ( 1 - p ) = ∞ iken Σ k = 0 k s k - ∞ iken Σ k = 0 k p k + 1$p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ ∞ ∑ k = 0 kpk- ∞ ∑ k = 0 kpk+1= ∞ ∑ k = 0 (k+1)pk+1- ∞ ∑ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ ∑ ∞ k = 0 pk=1/(1-p)0<p< $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ nerede kullanılan zaman (bkz geometrik dizi ).$\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Eğer 1/2 ise, bu . Yani, ortalama bir ailenin 1 çocuğu var. Tüm ailelerin 1 kıza sahip olduğunu zaten biliyoruz, bu nedenle oran zaman içinde 1/1 .D x = 0.5 / 0.5 1 / 1 = $p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

Rastgele değişken , geometrik rastgele bir değişken olarak bilinir .$X$

özet

Bütün doğumların bağımsız olarak% 50 kız olma şansına sahip olduğu basit model gerçekçi değildir ve ortaya çıktığı üzere istisnaidir. Nüfustaki sonuçlardaki değişimin sonuçlarını göz önüne alır almaz , cevap şu: kız: erkek oranı 1: 1'i geçmeyen herhangi bir değer olabilir . (Gerçekte, muhtemelen hala 1: 1'e yakın olacaktır, ancak bu, veri analizinin tespit edilmesi gereken bir konudur.)

Bu iki çelişkili cevap, her ikisinin de doğum sonuçlarının istatistiksel bağımsızlığı varsayılarak elde edildiğinden, bağımsızlığa yapılan itiraz yetersiz bir açıklamadır. Böylece, varyasyonun (kadın doğum ihtimalinde), paradoksun temel fikri olduğu anlaşılmaktadır .

Giriş

Bir şeye inanmak için iyi nedenlerimiz olduğunu düşündüğümüzde, çelişkili bir argümanla karşı karşıya kaldığımızı düşündüğümüzde bir paradoks ortaya çıkar.

Bir paradoks için tatmin edici bir çözüm, hem doğru olanı hem de her iki argümanda neyin yanlış olduğunu anlamamıza yardımcı olur . Olasılık ve istatistikte sıklıkla olduğu gibi, her iki argüman da aslında geçerli olabilir: çözünürlük , dolaylı olarak yapılan varsayımlar arasındaki farklılıklara dayanacaktır . Bu farklı varsayımların karşılaştırılması, durumun hangi yönlerinin farklı cevaplara yol açtığını belirlememize yardımcı olabilir. Bu yönleri tanımlamak, benim en çok değer vermemiz gereken şey olduğunu düşünüyorum.

Varsayımlar

Cevaplar şu ana kadar yayınlanan tüm kanıtladığı gibi, kadın doğum meydana geldiğini varsaymak doğaldır bağımsız ve birlikte sürekli olasılıklar arasında . Her iki varsayımın da gerçekte doğru olmadığı iyi bilinmektedir, ancak bu varsayımlardaki küçük sapmaların cevabı fazla etkilememesi gerektiği anlaşılmaktadır. Hadi görelim. Bu amaçla, aşağıdaki daha genel ve daha gerçekçi modeli göz önünde bulundurun:$1/2$

1. Her ailede bir kadın doğum olasılığı bir sabittir bakılmaksızın doğum düzenin,.p $i$$p_i$

2. Durma kuralının olmaması durumunda, popülasyondaki beklenen kadın doğum sayısı, beklenen erkek doğum sayısına yakın olmalıdır.

3. Tüm doğum sonuçları (istatistiksel olarak) bağımsızdır.

Bu, ebeveynlerin (özellikle annenin) yaşıyla değişebileceği , tamamen gerçekçi bir insan doğum modeli değildir . Bununla birlikte, daha genel modellere bile uygulanacak paradoksun tatmin edici bir çözümünü sağlamak için yeterince gerçekçi ve esnektir.$p_i$

analiz

Her ne kadar bu modelin kapsamlı bir analizini yapmak ilginç olsa da, ana noktalar, belirli, basit (ama biraz aşırı) bir versiyona bakıldığında bile belirginleşir. Nüfusun ailesi olduğunu varsayalım . Bunların yarısında kadın doğum şansı , diğer yarısında kadın doğum şansı . Bu açıkça durumu karşılamaktadır (2): Beklenen kadın ve erkek doğum sayıları aynıdır.$2N$$2/3$$1/3$

Bu ilk aileleri düşünün . Beklentiler anlamında neden bize bildirin, gerçek sonuçların rastgele olacağını ve bu nedenle beklentilerden biraz farklı olacağını anlayın. (Aşağıdaki analizin arkasındaki fikir, bu yazının en sonunda ortaya çıkan özgün cevapta daha kısa ve basit bir şekilde iletildi.)$N$

Let oluşan bir popülasyonda kadın doğum beklenen sayısını olduğu sabit bir kadın doğum olasılığı ile . Açıkçası bu, ile orantılıdır ve bu nedenle olarak yazılabilir . Benzer şekilde, beklenen erkek doğum sayısı olmasına izin verin .$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• İlk aile aileleri bir kız çocuğu ve durur. Diğer aileleri bir erkek çocuk üretir ve çocukları doğurmaya devam eder. Bu şimdiye kadar kızları ve oğlanları.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• Kalan aileleri eskisi gibi aynı konumdadır:$(1-p)N$ bağımsızlık varsayımı (3), gelecekte yaşadıklarının, ilk doğanlarının bir oğul olduğu gerçeğinden etkilenmediği anlamına gelir. Böylece, bu aileler daha fazla kız ve daha fazla erkek üretecek .$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

Toplam kız ve toplam erkek çocuklarının toplanması ve ve değerlerinin varsayılan değerleriyle karşılaştırılması denklemler verir$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

çözümlerle

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

İlk ailede beklenen kız sayısı, , bu nedenle ve beklenen erkek sayısı .$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

İkinci ailede beklenen kız sayısı, , bu nedenle ve beklenen erkek sayısı .$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

Toplamlar kız ve erkek. Büyük için beklenen oran beklentilerin oranına yakın olacak,$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

Durma kuralı, erkek çocukları tercih eder!

Daha genel olarak, ailelerin yarısı bağımsız olarak olasılıklı kız çocuğu taşıyan , diğer yarısı bağımsız olarak olasılığına sahip erkek çocuklarla birlikte , koşullar (1) ila (3) arasındaki koşullar uygulanmaya devam etmekte ve büyük yaklaşımı için beklenen oran$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

Tabii ki ile arasında olan bağlı olarak , bu değer ile arasında herhangi bir yerde olabilir (ancak hiçbir zaman büyük olamaz ). Sadece 1/2 olduğunda maksimum değerine ulaşır . Başka bir deyişle, beklenen kız çocuğu: 1: 1 olan erkek oranı, ilk kız ile uğraşmanın toplumda daha fazla erkek çocuğu tercih ettiği daha genel ve gerçekçi kural için özel bir istisnadır.$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

çözüm

Sezginiz, ilk kızla uğraşmanın popülasyonda daha fazla erkek üretmesi gerektiği ise, bu örnekte gösterildiği gibi haklısınız. Doğru olması için ihtiyacınız olan tek şey, bir kız çocuğu doğurma olasılığının aileler arasında (sadece bir miktar bile olsa) değişmesidir.

Oranın 1: 1'e yakın olması gerektiğine dair "resmi" cevap, bazı gerçekçi olmayan varsayımlar gerektiriyor ve bunlara duyarlı: ailelerin arasında hiçbir değişiklik olamayacağını ve tüm doğumların bağımsız olması gerektiğini varsayalım.

Yorumlar

Bu analizin vurguladığı anahtar fikir , nüfus içindeki varyasyonun önemli sonuçları olduğu yönündedir. Doğumların Bağımsızlık - yok - bu iş parçacığı her analiz için kullanılan bir basitleştirme varsayımı olmasına rağmen değil resmi cevap ve onun karşısında hem tutarlıdır (diğer varsayımlara bağlı olarak), çünkü paradoksu çözmek.

Bununla birlikte, beklenen oranın esas olarak 1: 1'den için popülasyondaki arasında çok fazla değişikliğe ihtiyacımız olduğunu . Eğer tüm , örneğin, 0.45 ila 0.55 arasında ise, bu değişimin etkileri çok belirgin olmayacaktır. gerçekte bir insan popülasyonunda ne olduğuna dair bu soruyu ele almak oldukça büyük ve doğru bir veri seti gerektiriyor. Biri genelleştirilmiş bir doğrusal karışık model kullanabilir ve aşırı dağılma için test yapabilir .$p_i$$p_i$$p_i$

Cinsiyeti başka bir genetik ifadeyle değiştirirsek, doğal seçilimin basit bir istatistiksel açıklamasını elde ederiz : Genetik yapılarına dayanarak yavruların sayısını farklı şekilde sınırlayan bir kural, gelecek nesillerde bu genlerin oranlarını sistematik olarak değiştirebilir. Gen cinsiyete bağlı olmadığında, küçük bir etki bile art arda gelen nesiller boyunca çoğalarak çoğalacak ve hızla büyük ölçüde büyütülebilir.

---

Orijinal cevap

Her çocuğun doğum sırası vardır: ilk doğan, ikinci doğan, vb.

Erkek ve kadın doğumların eşit olasılıkları olduğunu ve cinsiyetler arasında bir ilişki olmadığını varsayarsak, Büyük Sayılar Zayıf Kanunu, ilk doğan kadınlarda erkeklerin 1: 1 oranına yakın olacağını iddia ediyor . Aynı nedenden ötürü 1: 1 oranında ikinci doğmuş kadınların erkeklere oranı, vb. Yakın olacaktır. Bu oranlar sürekli olarak 1: 1 olduğundan, nüfusun göreceli sıklıklarının popülasyonda ne olduğuna bakılmaksızın toplam oranın 1: 1 olması gerekir.

Her çocuğun doğumu bir erkek için P = 0.5, bir kız için P = 0.5 olan bağımsız bir olaydır . Diğer detaylar (aile kararları gibi) yalnızca sizi bu durumdan uzaklaştırır. O zaman cevap, oranın 1: 1 olmasıdır .

Bunun üzerinde durmak için: Çocuk sahibi olmak yerine, bir "kafa" alana kadar adil bir yazı tura (P (kafa) = 0.5) çevirdiğinizi düşünün. Diyelim ki A Ailesi yazı tura atar ve [kuyruk, kuyruk, kafa] sırasını alır. Sonra B Ailesi yazı tura attı ve yazı aldı. Şimdi, sıradakilerin kafa olabilme olasılığı nedir? Hala 0,5 , çünkü bağımsız demek bu. Bunu 1000 aileyle yapacak olsaydınız (bu, 1000 baş geldi anlamına gelir), beklenen toplam kuyruk sayısı 1000'dir, çünkü her bir çevirme (olay) tamamen bağımsızdı.

Bazı şeyler, bir aile içindeki dizi gibi bağımsız değildir : dizinin olasılığı [kafalar, kafalar] 0'dır, [kuyruklar, kuyruklar] (0.25) ile aynı değildir. Ancak soru bunu sormadığından, konu dışı.

Bir kafa gözlemleyene kadar adil bir yazı tura atmayı düşünün. Kaç tane kuyruk atıyorsun?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Beklenen kuyruk sayısı kolayca hesaplanır * 1'dir.

Kafa sayısı her zaman 1'dir.

* bu sizin için açık değilse, burada 'ispat taslağını' görün

Tam olarak bir kız ve erkek olmayan çiftler en yaygın olanlarıdır

Tüm bunların işe yaramasının nedeni, daha fazla kızın bulunduğu bir senaryo olasılığının, daha fazla oğlanın bulunduğu senaryolardan daha büyük olmasıdır. Ve daha çok çocuğun olduğu senaryoların çok düşük olasılıkları var. Kendini çözme belirli bir şekilde aşağıda gösterilmiştir

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Bunun bu noktada nereye gittiğini çok fazla görebilirsiniz, kızların ve erkeklerin toplamının ikisi de bir araya gelecek.

Beklenen kızlar bir çiftten Beklenen çocuklar bir çiftten${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Wolfram'dan limit çözümleri}

Herhangi bir doğum, hangi aile olursa olsun 50:50 erkek veya kız olma şansı var

Bunların hepsi içsel olarak anlamlıdır, çünkü (çiftlerin yapabileceği şekilde deneyin) belirli bir doğumun bir erkek veya kız olma olasılığını kontrol edemezsiniz. Bir çocuğun çocuğu olmayan bir çiftle mi yoksa yüz oğlanın bir ailesiyle mi doğduğu önemli değildir; Şans 50:50, eğer her doğumda 50:50 şans varsa, her zaman yarı erkek ve yarı kız almalısınız. Doğumları aileler arasında nasıl karıştırdığın önemli değil; Bunu etkilemeyeceksin.

Bu herhangi bir ¹ kural için çalışır

Herhangi bir doğum için 50:50 şansı nedeniyle, oran gelebilecek herhangi bir (makul ¹ ) kural için 1: 1 olacaktır . Örneğin, aşağıdaki benzer kural da

Çiftler, bir kız çocuğu veya iki çocuğu olduğunda çocuk sahibi olmayı bırakır.

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

Bu durumda toplam beklenen çocuklar daha kolay hesaplanır

Beklenen kızlardan bir çift Beklenen bir çift${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Dediğim gibi bu, gerçek dünyada var olabilecek herhangi bir makul kural için işe yarar. Mantıksız bir kural, çift başına beklenen çocukların sınırsız olduğu bir kural olacaktır. Örneğin, “Ebeveynler, yalnızca kızlardan iki katı erkek çocuk sahibi olduklarında çocuk sahibi olmayı bırakırlar”, bu kuralın sonsuz çocuklara verdiğini göstermek için yukarıdaki tekniklerin aynısını kullanabiliriz:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Daha sonra sınırlı sayıda çocuğa sahip ebeveyn sayısını bulabiliriz.

Sonlu çocukları olan beklenen ebeveyn sayısı${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Wolfram'dan limit çözümleri}

Bundan dolayı, ebeveynlerin% 82'sinin sonsuz sayıda çocuğu olacağını tespit edebiliriz; Şehir planlama açısından bu muhtemelen güçlüklere neden olur ve bu koşulun gerçek dünyada var olamayacağını gösterir.

Simülasyonu da kullanabilirsiniz:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Bunun haritalandırılması doğum popülasyonunun oranının (1: 1 olduğu varsayılır) ve çocuk popülasyonunun oranının hem 1: 1 olacağını nasıl daha iyi görmemi sağladı. Bazı ailelerin birden fazla erkek çocuğu olmasına rağmen, başlangıçta kızlardan daha fazla erkek olacağını düşünmeme neden olan sadece bir kız olmasına rağmen , bu ailelerin sayısı % 50'den fazla olmayacak ve her ilave çocukla birlikte yarı yarıya azalacaktı. tek kız ailelerin sayısı% 50 olacaktır. Böylece kız ve erkek sayısı birbirlerini dengeler. En alttaki 175 toplamını görün.

Elinizde en basit ve doğru olan cevap buydu. Yeni doğmuş bir çocuğun erkek olma olasılığı p ise ve yanlış cinsiyetten çocuklar talihsiz kazalarla karşılanmıyorsa, ebeveynlerin çocuğun cinsiyeti temelinde daha fazla çocuk sahibi olma kararları alması önemli değildir. Çocukların sayısı N ve N'nin büyük olması durumunda, p * N erkeklerini bekleyebilirsiniz. Daha karmaşık bir hesaplamaya gerek yoktur.

"Çocuklu bir ailenin en küçük çocuğunun erkek olma olasılığı nedir" veya "çocuklu bir ailenin en büyük çocuğunun erkek olma olasılığı nedir" gibi başka sorular da vardır. (Bunlardan biri basit bir doğru cevaba, diğeri basit bir yanlış cevaba sahip ve doğru cevabı almak zor.

İzin Vermek

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

örnek mekanı ol ve bırak

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

Her sonucu, , içerdiği erkeklerin sayısına eşleştiren rastgele değişken . Beklenen erkeklerin değeri, , sonra $\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$ ,

Önemsiz olarak, kızların beklenen değeri 1'dir. Yani, oran da 1'dir.

Bu hileli bir soru. Oran aynı kalır (1: 1). Doğru cevap doğum oranını etkilememesi, ancak aile başına düşen çocuk sayısını, aile başına ortalama 2 doğum sınırlayıcı faktörü etkilemesidir.

Bu, mantık testinde bulabileceğiniz bir tür soru. Cevap doğum oranıyla ilgili değil. Bu bir dikkat dağıtıcı.

Bu bir olasılık sorusu değil, bilişsel bir akıl yürütme sorusudur. 1: 1 oranını cevaplasanız bile, hala testi geçemediniz.

MATLAB yazılımı kullanarak Monte Carlo simülasyonu için yazdığım kodu (500x1000 aileleri) gösteriyorum. Lütfen bir hata yapmamam için kodu inceleyin.

Sonuç üretildi ve aşağıda çizildi. Bu, simüle edilmiş kız doğum olasılığının, bir dizi doğal doğum olasılığı için durma kuralından bağımsız olarak, altta yatan doğal doğum olasılığı ile çok iyi bir uyum içinde olduğunu göstermektedir.

Kodla uğraşmak, daha önce yapmadığım bir noktayı anlamak daha kolaydır --- diğerinin işaret ettiği gibi, durma kuralı dikkat dağıtıcıdır. Durma kuralı yalnızca sabit bir nüfus verilen ailelerin sayısını veya başka bir bakış açısına göre sabit bir ailenin verilen çocuk doğumlarının sayısını etkiler. Cinsiyet sadece zar atma ile belirlenir ve bu nedenle (çocuk sayısından bağımsız olan) oran veya olasılık yalnızca doğal erkek çocuğa bağlı olacaktır: kız doğum rato.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

Ülkedeki çocuğunu gösteren rastgele değişkenin, eğer sırasıyla bir erkek veya 1 ve 0 değerlerini alarak . Her doğumun bir erkek veya kız olması ihtimalinin marjinal olduğunu .$i^{th}$$X_i$$0.5$

Ülkede beklenen erkek sayısı = (burada ülkedeki çocuk sayısıdır)$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

Benzer şekilde, beklenen kız sayısı = .$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

Beklenen değerlerin hesaplanmasında doğumların bağımsızlığı önemsizdir.

---

Apropos @ whuber'in cevabı, aileler arasında marjinal olasılığın bir çeşitlemesi varsa, oran, erkek çocuklara göre daha fazla eğri hale gelir, çünkü erkek çocuklarda daha yüksek olasılık olan ailelere göre daha fazla çocuk olması, bu nedenle erkekler için beklenen değer toplamı.

Bağımsız olarak, başkalarının ne yaptığını görmeden önce matlabda bir simülasyon programladım. Açıkçası konuşmak bir MC değil çünkü deneyi yalnızca bir kez yapıyorum. Ancak bir kez sonuç almak için yeterli. İşte simülasyonumun getirdiği şey. İlkel olarak doğumların p = 0.5 olması ihtimaline karşı çıkmam. Doğum olasılığının Pr (Boys = 1) = 0.25: 0.05: 0.75 aralığında değişmesine izin verdim.

Sonuçlara göre, olasılık p = 0.5'ten sapma gösterdiğinde, cinsiyet oranı 1'den farklıdır: beklentide cinsiyet oranı, bir çocuğun doğum olasılığının bir kızın doğum olasılığına oranıdır. Yani, bu daha önce @ månst tarafından tanımlanan geometrik rastgele bir değişkendir. Özgün posterin sezgisel olduğuna inandığım şey buydu.

Sonuçlarım, yukarıdaki posterin matlab kodu ile ne yaptığını taklit ederek cinsiyet oranlarını bir çocuğun doğduğu 0,45, 0,50 ve 0,55 olasılıklarıyla eşleştiriyor. Madeni daha hızlı kodlarla sonuçlara ulaşmak için biraz farklı bir yaklaşım benimseyim. Karşılaştırma yapmak için, vec = vec (randperm (s, N)) kod bölümünü s yazdım çünkü kodlarında tanımlanmadı ve bu değişkenin orijinal amacını bilmiyorum (bu kod bölümü de gereksiz görünüyor - başlangıçta olduğu gibi) belirtilmedikçe).

Kodumu gönderirim

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Aşağıdaki grafikte, büyük sayının güçlü yasası göz önüne alındığında bekleniyor. Onu yeniden üretiyorum, ancak önemli olan grafik ikinci grafik.

Burada, bir çocuğun cinsiyetinden birinin doğumu için 0,5 dışında bir nüfus olasılığı, toplam nüfustaki cinsiyet oranını değiştirecektir. Doğumların bağımsız olduğu varsayılırsa (ancak çoğalmaya devam etme seçeneği yoktur), koşullu üremenin her turunda popülasyon olasılığı, erkek ve kız doğumlarının genel sonuçlarını oluşturur. Diğerlerinin de belirttiği gibi, problemdeki durma kuralı, bunu geometrik dağılım olarak tanımlayan posterin cevapladığı gibi, nüfus sonuçlarına aykırıdır.

Tamamlanma için, durma kuralının etkilediği popülasyondaki üreme turlarının sayısıdır. Deneyi yalnızca bir kez çalıştırdığım için, grafik biraz pürüzlü. Ancak sezgi var: belli bir nüfus büyüklüğü için, bir kızın doğum olasılığı arttıkça, ailelerin tüm popülasyon çoğalmayı durdurmadan önce istedikleri kızı elde etmek için daha az üreme turuna ihtiyaç duyduklarını görüyoruz (açıkçası tur sayısı, Nüfus boyutu, çünkü mekanik olarak bir ailenin sahip olma olasılığını arttırır, örneğin, ilk kızlarını almadan önce 49 erkek çocuğu)

Hesaplanmış cinsiyet oranlarım arasındaki karşılaştırma:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

ve önceki posterdeki matlab kodu ile olanlar:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Eşdeğer sonuçlardır.

Bu ailelerin sayısına bağlıdır.

Let bir aile içinde çocuk sayısı olabilir, bu geometrik rastgele değişken , yani eder$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

Diyelim ki ülkede aile var , kız oranı $N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

Yana (sayıda kanunu), 1/2 oranı kapsamında bulunan ise .N → $\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

Sadece sonlu aileler varsa, , ülkenin toplam çocuk sayısı olsun: , o zaman , pmf ile negatif binom dağılımına sahiptir. $T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

ima eder burada hipergeometrik fonksiyondur.2F

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

Dolayısıyla beklenen kız oranı .${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$