1 Hz (7200 ölçüm) örnekleme oranına sahip 2 saatlik iki GPS verim var. Veriler biçiminde verilir ; burada ölçüm belirsizliğidir.$(X, X_\sigma, Y, Y_\sigma, Z, Z_\sigma)$$N_\sigma$

Tüm ölçümlerin ortalamasını aldığımda (örneğin, bu iki saatlik ortalama Z değeri), standart sapması nedir? Elbette Z değerlerinden standart sapmayı hesaplayabilirim, ancak daha sonra bilinen ölçüm belirsizlikleri olduğu gerçeğini ihmal ediyorum ...

Düzenleme: Verilerin hepsi aynı istasyondan ve tüm koordinatlar her saniye yeniden ölçülür. Uydu takımyıldızları vb. Nedeniyle, her ölçümün farklı bir belirsizliği vardır. Analizimin amacı harici bir olaydan (yani bir deprem) kaynaklanan yer değiştirmeyi bulmaktır. Depremden önce 7200 ölçüm için ortalama (2 saat) ve depremden sonra 2 saat için başka bir ortalama almak ve daha sonra ortaya çıkan farkı (örneğin yükseklik) hesaplamak istiyorum. Bu farkın standart sapmasını belirlemek için, iki aracın standart sapmasını bilmem gerekir.

Bu soruya verilen önceki yanıtların biraz işaret dışı olabileceğinden şüpheleniyorum. Bana öyle geliyor ki, orijinal posterin burada sorduğu şey, "bir dizi vektör ölçümü göz önüne alındığında:" şeklinde ifade edilebilir: ile ve ölçüm kovaryansı :i=1,2,3,. . . ,7200Ci=( X 2 σ , i 0 0 0 Y 2 σ , i 0 0 0 Z 2 σ , i

$$\vec{\theta}_{i} = \left( \begin{array}{c} X_{i} \\ Y_{i} \\ Z_{i} \end{array}\right)$$ $i=1, 2, 3,...,7200$ $$C_{i} = \left( \begin{array}{ccc} X_{\sigma,i}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & Y_{\sigma,i}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & Z_{\sigma,i}^{2} \end{array} \right)$$ bu vektör ölçümleri serisi için kovaryans ağırlıklı ortalamayı doğru bir şekilde nasıl hesaplayabilirim ve daha sonra standart sapmasını nasıl doğru bir şekilde hesaplayabilirim? "Bu sorunun cevabı, fizik bilimleri istatistiklerinde uzmanlaşmış birçok ders kitabında bulunabilir. Özellikle sevdiğim bir örnek Frederick James, "Deneysel Fizikte İstatistiksel Yöntemler" , 2. baskı, World Scientific, 2006, Bölüm 11.5.2, "Bağımsız tahminleri birleştirme", s. 323-324. skaler değerleri için varyans ağırlıklı ortalama hesaplamasını açıklayan daha başlangıç ​​seviyesinde metin (yukarıda gösterildiği gibi tam vektör miktarlarının aksine) Philip R. Bevington ve D. Keith Robinson, "Fizik Bilimleri için Veri Azaltma ve Hata Analizi ", 3. baskı, McGraw-Hill, 2003, Bölüm 4.1.x, "Verilerin Ağırlıklandırılması - Düzgün Olmayan Belirsizlikler". Posterin sorusunun bu durumda diyagonalleştirilmiş bir kovaryans matrisi olduğu (yani, tüm diyagonal olmayan elemanlar sıfır olduğu), problem aslında üç bireye ayrılabilir (yani, X, Y, Z) skaler ağırlıklı ortalama problemleri, Bevington ve Robinson analizi burada da aynı şekilde geçerlidir.

Genel olarak, stackexchange.com sorularına yanıt verirken, normalde daha önce çok sayıda ders kitabında sunulan uzun türevleri yeniden paketlemenin yararlı olduğunu düşünmüyorum - eğer malzemeyi gerçekten anlamak ve cevapların neden göründüğünü anlamak istiyorsanız Bu şekilde gerçekten ders kitabı yazarları tarafından yayınlanan açıklamaları okumanız yeterlidir. Bunu göz önünde bulundurarak, doğrudan başkalarının zaten verdiği cevapları yeniden belirtmek için atlayacağım. Frederick James, ayarından ağırlıklı ortalama: ve ağırlıklı ortalamanın kovaryansı:$N=7200$

$$\vec{\theta}_{mean} = \left( \sum_{i=1}^{N} C_{i}^{-1} \right)^{-1} \left( \sum_{i=1}^{N} C_{i}^{-1} \vec{\theta_{i}} \right)$$ $$C_{mean} = \left( \sum_{i=1}^{N} C_{i}^{-1} \right)^{-1}$$ Bu cevap tamamen geneldir ve ne olursa olsun geçerli olacaktır çapraz olmayan ölçüm kovaryans matrisleri için bile biçimidir .$C_{i}$

Bu nedenle ölçüm kovaryanslar olur yana olan bu özel durumda diyagonal Bevington ve Robinson analizi de birey için sapmaların hesaplanması-ağırlıklı aracı için de kullanılabilir , , ve . Skaler cevabın şekli, vektör cevabının şekline benzer: ve varyans veya eşdeğeri, ve benzer şekilde$X_{i}$$Y_{i}$$Z_{i}$

$$X_{mean} = \frac{\sum_{i=1}^{N} \frac{X_{i}}{X_{\sigma,i}^{2}}}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{X_{\sigma,i}^{2}}}$$ $$X_{\sigma,mean}^{2} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{X_{\sigma,i}^{2}}}$$ $$X_{\sigma,mean} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{X_{\sigma,i}^{2}}}}$$ $Y_{mean}, Y_{\sigma, mean}$ve . Skaler değerli vaka için aynı cevaba ulaşan kısa bir wikipedia girişi burada mevcuttur .$Z_{mean}, Z_{\sigma, mean}$

Bu, bayes çıkarımı kullanılarak kolayca çözülmelidir. Her bir noktanın gerçek değerlerine göre ölçüm özelliklerini biliyorsunuz ve gerçek değerleri üreten popülasyon ortalamasını ve SD'yi çıkarmak istiyorsunuz. Bu hiyerarşik bir model.

Sorunu yeniden silme (Bayes hakkında temel bilgiler)

Ortodoks istatistiklerin size tek bir ortalama verirken, bayes çerçevesinde ortalamanın güvenilir değerlerinin bir dağılımını elde edersiniz. Örneğin, SD'lerle (2, 2, 3) gözlemler (1, 2, 3) Maksimum Olabilirlik Tahmini 2 ile değil, aynı zamanda ortalama 2.1 veya 1.8 ile de oluşturulmuş olabilir, ancak verilerden biraz daha az olasıdır. MLE. SD'ye ek olarak , ortalamayı da çıkarıyoruz .

Bir diğer kavramsal fark, gözlem yapmadan önce bilgi durumunuzu tanımlamanız gerektiğidir . Buna öncelikler diyoruz . Belirli bir alanın belirli bir yükseklik aralığında tarandığını önceden biliyor olabilirsiniz. Bilginin tamamen yokluğu, X ve Y'de önceki gibi eşit (-90, 90) dereceye ve belki de yükseklikte (okyanusun üstünde, dünyadaki en yüksek noktanın altında) eşit (0, 10000) metre olacaktır. Tahmin etmek istediğiniz tüm parametreler için önceki dağılımları tanımlamanız gerekir , yani arka dağılımlar elde etmelisiniz . Bu standart sapma için de geçerlidir.

Bu nedenle, sorununuzu yeniden ifade ederek, üç yöntem (X.mean, Y.mean, X.mean) ve üç standart sapma (X.sd, Y.sd, X.sd) için güvenilir değerler çıkarmak istediğinizi varsayıyorum. verilerinizi oluşturdu.

Model

Standart BUGS sözdizimini kullanarak (bunu çalıştırmak için WinBUGS, OpenBUGS, JAGS, stan veya diğer paketleri kullanın), modeliniz şöyle görünecektir:

  model {
    # Set priors on population parameters
    X.mean ~ dunif(-90, 90)
    Y.mean ~ dunif(-90, 90)
    Z.mean ~ dunif(0, 10000)
    X.sd ~ dunif(0, 10)  # use something with better properties, i.e. Jeffreys prior.
    Y.sd ~ dunif(0, 10)
    Z.sd ~ dunif(0, 100)

    # Loop through data (or: set up plates)
    # assuming observed(x, sd(x), y, sd(y) z, sd(z)) = d[i, 1:6]
    for(i in 1:n.obs) {
      # The true value was generated from population parameters
      X[i] ~ dnorm(X.mean, X.sd^-2)  #^-2 converts from SD to precision
      Y[i] ~ dnorm(Y.mean, Y.sd^-2)
      Z[i] ~ dnorm(Z.mean, Z.sd^-2)

      # The observation was generated from the true value and a known measurement error
      d[i, 1] ~ dnorm(X[i], d[i, 2]^-2)  #^-2 converts from SD to precision
      d[i, 3] ~ dnorm(Y[i], d[i, 4]^-2)
      d[i, 5] ~ dnorm(Z[i], d[i, 6]^-2)
    }
  }

Doğal olarak, .mean ve .sd parametrelerini izler ve posteriorlarını çıkarsama için kullanırsınız.

Simülasyon

Bunun gibi bazı verileri simüle ettim:

# Simulate 500 data points
x = rnorm(500, -10, 5)  # mean -10, sd 5
y = rnorm(500, 20, 5)  # mean 20, sd 4
z = rnorm(500, 2000, 10)  # mean 2000, sd 10
d = cbind(x, 0.1, y, 0.1, z, 3)  # added constant measurement errors of 0.1 deg, 0.1 deg and 3 meters
n.obs = dim(d)[1]

Ardından, 500 yinelemenin yanmasından sonra 2000 yinelemeleri için JAGS kullanarak modeli çalıştırdı. İşte X.sd sonucu.

Mavi aralık% 95 En Yüksek Arka Yoğunluk veya Güvenilir aralığı gösterir (parametrenin verileri gözlemledikten sonra olduğuna inanırsınız. Ortodoks bir güven aralığının size bunu sağlamadığını unutmayın).

Kırmızı dikey çizgi ham verilerin MLE tahminidir. Genellikle Bayes kestiriminde en olası parametrenin, ortodoks istatistiklerde de en olası (maksimum olabilirlik) parametresi olması durumudur. Ancak posteriorun üstünü çok fazla önemsememelisiniz. Tek bir sayıya kaynatmak istiyorsanız ortalama veya medyan daha iyidir.

MLE / top 5 değerinde değildir, çünkü veriler yanlış istatistikler nedeniyle değil rastgele oluşturulur.

Limitiations

Bu, şu anda birkaç kusuru olan basit bir modeldir.

1. -90 ve 90 derecenin kimliğini işlemez. Ancak bu, tahmini parametrelerin uç değerlerini (-90, 90) aralığına kaydeden bir ara değişken yapılarak yapılabilir.
2. X, Y ve Z şu anda muhtemelen birbirleriyle ilişkili olmalarına rağmen bağımsız olarak modellenmiştir ve verilerden en iyi şekilde yararlanmak için bu dikkate alınmalıdır. Ölçüm cihazının hareket ettiğine (seri korelasyon ve X, Y ve Z'nin eklem dağılımı size çok fazla bilgi verecektir) veya hareketsiz kalmasına (bağımsızlık iyi) bağlıdır. İstenirse buna yaklaşmak için cevabı genişletebilirim.

Uzamsal Bayes modelleri hakkında bilgili olmadığım birçok literatür olduğunu belirtmeliyim.

Öncelikle biraz gösterim yaptım ve bahsettiğiniz basit yaklaşımı kullanarak sorunu ayarladım. Sonra daha ileri gidin. Ben kullanacağı Verdiğin vektör Z başvurmak için.$\mathbf{z}$

Açık sözlü ölçüm hatası olmayan aşağıdaki modeli düşünün: , burada nin tahmini ortalama değeridir ve , Z'nin gerçek ortalama değeridir. Burada verilerinizdeki hataların bir vektörüdür ve örneğiniz büyükse , . Sadece gözlemlenen değerlerini alır ve ortalama alırsanız, edersiniz ve örnek standart sapmayı hesaplarsanız elde edersiniz , gerçek popülasyon standart sapmasının tahmini$\bar{Z} = \frac{\sum_{i=1}^n\mu_{Z} + \epsilon_i}{n}$$\bar{Z}$$\mathbf{z}$$\mu_Z$$\mathbf{\epsilon}$$\bar{Z}$$\mu_Z$$Z$$\bar{Z}$$\hat{\sigma}$$\sigma$ . Ölçüm hatası hakkında bazı bilgilerden yararlanmak isterseniz ne olur?

İlk olarak, ilk modeli şu şekilde yeniden formüle edebileceğimizi unutmayın: , burada bir vektördür ve son olarak . Şimdi bu gerçekten gerilemeye benziyor, ama yine de temelde sadece tahmini . Böyle bir gerileme yaparsak, standart hatası için bir tahmin alırız , bu neredeyse istediğimiz şeydir - bu, nin standart hatasından başka bir şey değildir (ancak yine de hesaba katmak istiyoruz) ölçüm hatası).1 β ˉ Z μ Z ϵ $\mathbf{z} = \mathbf{1}\beta + \epsilon$$\mathbf{1}$$\beta$$\bar{Z}$$\mu_Z$$\epsilon$$\mathbf{z}$

Karma bir model elde etmek için ilk modelimizi artırabiliriz. , burada rastlantısal etkilerin bir vektördür ve ilgili olarak etkilediği belirlenmiştir için . Herhangi bir rastgele efektte olduğu gibi, dağılımı hakkında bir varsayım yapmanız gerekecektir . için ölçüm hatasının dağılımı olduğu doğru mu?u Q z u u Z σ $\mathbf{z} = \mathbf{1}\beta + \mathbf{Q}u +\epsilon$$u$$\mathbf{Q}$$\mathbf{z}$$u$$u$$Z_\sigma$$\mathbf{z}$? Evetse, bu rastgele etkilerin dağılımını sağlamak için kullanılabilir. Tipik olarak, temel karışık efektler modellemesi yapmak için kullanılan yazılımlar rastgele efektlerin normal bir dağılıma sahip olduğunu varsayar (ortalama 0 ... ile) ve sizin için varyansı tahmin eder. Belki de konsepti test etmek için bunu deneyebilirsiniz. Ölçüm hatasının dağılımı ile ilgili önceden bilgilerinizi kullanmak isterseniz, Bayes karışık efekt modeli sipariş edilmelidir. R2OpenBUGS kullanabilirsiniz.

Bu modeli tahmin ettikten sonra, artıklar için aldığınız standart hata, ilgilendiğinizi ifade ettiğiniz standart hatadır. Sezgisel olarak, modelin rastgele efektler bileşeni, ölçüm olduğunu bildiğiniz için açıklayabileceğiniz bazı varyasyonları emiyor. hata. Bu, varyasyonu hakkında daha alakalı bir tahmin elde etmenizi sağlar$\epsilon$$\epsilon$

Ölçüm hatasını açıklamak için bu rastgele efekt yaklaşımı hakkında daha derin bir tartışma için bu makaleye bakın . Durumunuz yazarların ve ölçüm hatası bozuk sürümü için tanıttıkları duruma benzer . 4. Bölümdeki örnek, durumunuzla ilgili bazı bilgiler verebilir.$\mathbf{D}$$\mathbf{W}$

Whuber tarafından belirtildiği gibi, verilerinizdeki otokorelasyonu hesaba katmak isteyebilirsiniz. Rastgele efektler kullanmak bu sorunu çözmez.