Ising modeli için Gibbs örneklemesi

Ödev sorusu:

1-d Ising modelini düşünün.

Let . -1 veya +1'dirX $x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Yaklaşık hedef dağıtım den örnekler üretmek için bir gibbs örnekleme algoritması tasarlayın .$\pi(x)$

Girişimim:

vektörünü doldurmak için rastgele değerleri (-1 veya 1) seçin . Belki . Yani bu .X = ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , . . . , 1 ) x $x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

Şimdi devam etmeli ve ilk yinelemeyi yapmalıyız. için 40 farklı x'i ayrı ayrı çizmeliyiz . Yani...$x^1$

dan çizin π ( x 1 | x 0 2 , . . . , x 0 40$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Beraberlik den π ( x 2 | x 1 1 , x 0 3 , . . . , x 0 40$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Beraberlik den π ( x 3 | x 1 1 , x 1 2 , x 0 4 , . . . , x 0 40$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Vb..

Bu yüzden beni harekete geçiren kısım, koşullu dağılımdan aslında nasıl çekileceğimizdir. Nasıl devreye girer? Belki bir çekilişe bir örnek bazı şeyleri temizleyebilir.$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Önce bu davaya bak. X_1'e bağlı olmayan terimler . $x_1$

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ P(X1=1∣X2=x2,…,Xn=xn)=e x $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ e - x $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Bunu genelleştirin (farklılıklara dikkat edin; Ilmari'nin aşağıya bakınız).$x_2,\dots,x_{40}$

Simülasyonunuzu kontrol etmek için Ising'in analitik sonuçlarını kullanabilir misiniz ?