Söyleyen bir teoremi var mı

, tanımlanan ortalama, ve standart sapma, ile herhangi bir dağılım olsun . Merkezi limit teoremi $X$ $\mu$ $\sigma$ dağılımda standart normal dağılıma yakınsar. Eğerstandartstandart sapması iledeğiştirirsek,

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

dağılımda t-dağılımına yakınsak mı? Büyük

-t-dağılımı için normal yaklaştığından teorem, varsa, sınırın standart normal dağılım olduğunu belirtebilir. Bu nedenle, bana göre t-dağılımları çok kullanışlı değil - sadece

kabaca normalolduğunda faydalıdırlar. Durum böyle mi?

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$

X

$X$

Mümkünse, ile değiştirildiğinde bu CLT'nin bir kanıtını içeren referansları belirtir misiniz ? Böyle bir referans tercihen ölçü teorisi kavramlarını kullanabilir. Ama bu noktada benim için her şey harika olurdu. $\sigma$ $S$

— Esp Flo
kaynak

Sürümleri bazen birbirine yaklaşan lemma olarak adlandırılan Slutsky teoreminin bir uygulaması , sınırın standart normal olduğunu gösterir.

— kardinal

$n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

Şimdi rastgele değişkeni düşünün $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

Örnek iid'dir ve bu nedenle örnek momentler sürekli olarak nüfus momentlerini tahmin eder. Yani

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

Öğrenci dağıtımının faydasına gelince, sadece istatistiksel testlerle ilgili "geleneksel kullanımlarında" örnek boyutları gerçekten küçük olduğunda (ve hala bu tür durumlarla karşı karşıya olduğumuzda) vazgeçilmez olduğunu belirtiyorum. özellikle bu tür verilerin sık sık ortaya çıktığı Finans Ekonometrisi bağlamında (koşullu) heteroskedastisiteli model otoregresif serilere yaygın olarak uygulanmıştır.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

+1, teorik soruların cevaplarının uygulamadaki yararlılıklarıyla ne zaman ilişkili olduğunu görmek her zaman güzel

— Andy

@Andy katılıyorum, bu ideal.

— Alecos Papadopoulos