sınırlı dereceli grafiklerde kromatik sayıya yaklaşma sertliği

12

Sınırlı dereceye sahip grafiklerin vertex renklendirmesinde sertlik sonuçları arıyorum.

Bir grafik verildiğinde, , olmadığı sürece, değerini bir faktörü içinde tahmin zor olduğunu biliyoruz. [ 1 ]. Peki ya maksimum derecesi ile sınırlanmışsa ? Bu durumda (bazı ) formunun sertlik oranları var mı? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

Daha kolay bir soru şudur: Kenar boyutları ile sınırlandırıldığında kenar-kromatik hipergram sayısına yaklaşmanın sertliği . Bu durumda sertlik oranını umabilir miyiz ? (herhangi bir ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

İlginiz için teşekkürler!

— afshi7n
kaynak

3

zor bir örneği izole köşeler ile doldurabilirsiniz

— Sasho Nikolov

2

Evet, ancak başladığınız zor örneğin boyutuna sonlu bir bağ koyarsanız, zor olmayı bırakır.

— David Eppstein

1

@Sasho İzole köşeler ne kromatik sayıyı ne de maksimum dereceyi arttırdıklarında nasıl yardımcı olabilir?

— afshi7n

2

@DavidEppstein, bu dolgu yalnızca

ve

hala polinom ile ilişkili ise bir şeyleri kanıtlar . OP, asıl mesele bu. Eğer bir örneği ile başlar

köşe (en yani maksimum derecede

bunun yaklaşık zor olduğu)

dahilinde

.

izole köşeler ekleyin .

aynı kalır ve azami derece kalır

. bu polytime olan

. yani herhangi bir

tamsayı için

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$ Orada en büyük ölçüde sahip örnekler mevcut

zor olduğu yaklaştığı

dahilinde

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sasho Nikolov

Güncelleme: Bu NP-zor yaklaşık etmektir

faktörü dahilindedir

herhangi bir ek varsayım olmaksızın.

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— Cyriac Antony

9

David'in işaret ettiği gibi, Khot'un makalesi, "MaxClique, Kromatik Sayı ve Yaklaşık Grafik Renklendirme için Geliştirilmiş Uyumsuzluk Sonuçları", Teorem 1.6, renklendirilebilir grafiği renklerle renklendirmenin NP zor olduğunu söylüyor yeterince büyük sabit için derecesi en fazla olan grafikler . Başka bir deyişle, derecesi grafikleri için renklendirmek zordur $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ renkleriile renklendirilebilir grafik. $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

Daha iyi derecede sınır elde etmek için, Trevisan'ın "Sınırlı derece örneklerindeki optimizasyon problemleri için tahmin edilemez sonuçlar" başlıklı makaleden fikirleri kullanabilirsiniz. Temel gözlem, FGLSS indirgeme ile üretilen grafiğin, tam bipartit alt-tabakaların birliği olması ve her birinin, çok daha seyrek olan bir bipartit dağıtıcı ile değiştirilebilmesidir. Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , Theorem 1.4 / Ek D gibi birçok sonuçta benzer fikir kullanılmıştır .

Sanırım bu size gibi bir şey vermeli tarafından sınırlanan derece -colorable grafikler, bunun ile renk NP-zorbir sabit renklere. $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

Michael'ın bahsettiği makalede bağlanan derece, Khot'ınkine benzer, yani sağlamlık vakasının üstelidir. Tabii ki yukarıdaki korunma yaklaşımı da bunu geliştirir, ancak muhtemelen amacınız için daha iyi bir sabit vermez.

— sangxia
kaynak

Yararlı cevabınız için teşekkürler Sangxia. Yani, Khot'un makalesinden,

sertlik oranını ima edebiliriz . Ben Gazetende iyileşme kullanarak, biz bu sertlik oranını artırabilir düşünüyorum

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

. Bu doğru mu?

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

— afshi7n

@ afshi7n Parametreler burada biraz zor. Derece olarak ifade edilen Khot'ın makalesi,

veriyor

. Makalem kabaca

veriyor. Trevisan'ın yaklaşımı ile azalma derecesinde grafiğin derecesini artırabiliriz. Sanırım

. BTW tüm bunlar yeterince büyük bir sabit gerektirir

.

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

— sangxia

1

Teşekkürler görüyorum! Ben de o bu kağıt bana anılacaktır, e-posta yoluyla khot sorulan siam.org/proceedings/soda/2011/SODA11_124_guruswamiv.pdf ben verir inanmak

khot 2-1 varsayım varsayarak.

d^{c}

$d^c$

— afshi7n

8

Sınırlı maksimum derece ile renklendirilebilir grafiklerin kromatik sayısına yaklaşmanın en iyi bilinen sertliği, Venkatesan Guruswami ve Sanjeev Khanna, 4-Renklendiricili 3-Renklendirilebilir Grafiğin Sertliği Üzerine : $3$

Sürekli bir bulunmaktadır belirli bir şekilde , en fazla maksimum derecede -colorable grafik , sadece kullanarak renk NP-zor renk. $\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
kaynak

8

Khot'ın FOCS'01 belgesinde, "MaxClique, Kromatik Sayı ve Yaklaşık Grafik Renklendirme için Geliştirilmiş Uyumsuzluk Sonuçları" - muhtemelen istediğinizden daha zayıf, ancak en azından doğru yönde olduğundan, sınırlı dereceli grafikleri renklendirmek için uygun olmayan bir sonuç var.

O kanıtlar, bir parametre için (sabit olduğu varsayılır), ve burada derecesi ile -Kromatik grafikler , renklendirici bulmak için NP-zor olduğu kullanım renkleri. Yani derecesi açısından, bir faktörü içinde renklendirmek zordur , ancak aynı uyumsuzluk oranı aynı zamanda kromatik sayının bir süperpolinom fonksiyonudur. $k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— David Eppstein
kaynak

David, cevabın için teşekkürler. Evet, sonuçlarını gördüm, ancak sertlik oranını

den daha iyi almayı umuyorum . Sanırım bu ikinci sorun elde etmek daha kolay olabilir, yani kenar kromatik hipergram sayısı

\log d

$\log d$

— yaklaşıyor

Neden Khot'a sormuyorsun?

— Chandra Chekuri

1

@ chandra Sadece bir e-posta gönderdi ve sordu, öneri için teşekkürler! Tekrar duyduğumda burada güncelleme yapacağım.

— afshi7n

Aslında, KHOT tarafından belirtilen kağıt k-renklendirilebilir ve arasında bir boşluk kanıtlar

-colorable grafik (değil

. Bu, son zamanlarda Huang iyileştirilmiştir

içinde Bir sonraki STOC'ta yer alacak bir makale. ( arxiv.org/abs/1301.5216 )

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

— Michael Lampis

Neden

ve

farklı miktarları temsil ettiğini düşünüyorsunuz ? Yoksa Khot formülünün belirsiz operatör önceliğini yanlış mı yorumluyorum?

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

— David Eppstein

4

Bu sonuç yardımcı olabilir:

Emden-Weinert, Hougardy ve Kreuter, maksimum derecesine sahip bir grafiğin kullanarak bir renge sahip olup olmadığını belirlediğini kanıtladı $\Delta$ $k=$ renk NP tamamlandı () $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, Eşsiz renklendirilebilir grafikler ve büyük çevrenin renklendirme grafiklerinin sertliği, Combin. Probab. Comput. 7 (4) (1998) 375-386

— Muhammed El-Türkistan
kaynak