Bilinmeyen küçük bir polinom ile bölündüğünde, büyük bir sabit polinomun geri kalanını bulun

Sonlu bir alanda faaliyet gösterdiğimizi varsayalım. Bu alanda bize büyük bir sabit polinom p (x) (örneğin, derece 1000) verilir. Bu polinom önceden bilinir ve "başlangıç ​​aşamasında" çok fazla kaynak kullanarak hesaplama yapmamıza izin verilir. Bu sonuçlar makul derecede küçük arama tablolarında saklanabilir.

"Başlangıç ​​aşaması" nın sonunda, küçük bir bilinmeyen polinom q (x) (örneğin derece 5 veya daha az) verilecektir.

"Başlangıç ​​aşaması" nda bazı karmaşık hesaplamalar yapmamıza izin verildiği için p (x) mod q (x) 'i hesaplamanın hızlı bir yolu var mı? Açık bir yol, q (x) 'un tüm olası değerleri için p (x) mod q (x)' yi hesaplamaktır. Bunu yapmanın daha iyi bir yolu var mı?

Aşağıdaki algoritmalar yatan alan çok küçük bir düzeni vardır işe yarar .$s$

Bildiğimiz varsayalım sabit bir derecesi, indirgenemez . Daha sonra mod , beklettiğini biliyoruz . Bu nedenle için ön hesaplama yapmak yeterlidir .$q$$d$$q$$x^{s^d} = x$$p(x) \mod x^{s^d} - x$

Genel olarak, indirgenemez polinomlar . Bu durumda, her bir ayrı ayrı modulo hesaplamak ve ardından sonuçları bir araya getirmek için benzer bir argüman uygulanır . Bu yüzden gerçekten her bir için hesaplamalıyız .$q(x)$$q = q_1 \dots q_r$$p$$q_1, \dots, q_r$$p(x) \mod x^{s^{d'}} - x$$d' \leq d$

Bence bunu yapmanın oldukça hızlı bir yolu var. Henüz bilinmeyen polinom katsayıları olsun olmak , yani , bazı küçük bir sayıdır. Şimdi de işlem başlatmak izin burada , burada büyük ve bilinmektedir. Bunu, eşitlikleri olarak kullanarak dereceyi azaltarak yapıyoruz . Sonunda ne olsun bir derecesi olan katsayılarıdır polinomları polinom, beri ($q$$b_i$$q=\sum_{i=0}^d b_ix^i$$d$$p \pmod q$$p=\sum_{i=0}^D a_ix^i$$D$$a_i$$a_Dx^D= \frac {-a_D}{b_d} \sum_{i=1}^{d-1} b_{d-i}x^{D-i}$$<d-1$$b_i$$a_i$bilinir). Bu polinomlar, elde ettikten sonra hızlı hesaplayabiliriz .$q$

Aşağıda bu yazı ile ilgili mükemmel yorumlara bakın. :)

Ön işleme; giriş: $p(x)$

1. faktörü olarak .$p(x)$$p(x)=\prod_{i=0}^{1000} (x_i-r_i)$

2. Bunu farklı kökler ve bunların tablosu olarak .$T$$r_j$$m_j$

Çevrimiçi aşama; girdi: $q(x)$

1. Faktör olarak .$q(x)$$q(x)=\prod_{i=0}^5 (x_i-r'_i)$

2. Bunu farklı köklerinin listesi ve ilgili .$L$$r'_j$$m'_j$

3. İken boş değil, bir sonraki kök / gelen çok sayıda kaldırma terimler gibi herhangi bir .$L$$L$$T$

4. Okuyunuz modifiye edilmiş tablodan ve çıkış.$p(x)\bmod{q(x)}$$T$

Diğer yorumlar:

• Açıkçası tablosunu sıralamak ve ikili arama (veya bir ağaç) ile erişmek istiyorsunuz.$T$
• (Let derecesini olmak .) Çıkış isterseniz katsayı temsilinde olmak, sadece almak için sonunda FFTs bir demet yapabilirsiniz zaman.$d$$p(x)$$p(x)\bmod{q(x)}$$\tilde{O}(d)$
• Nasıl resmileştirdiğinize bağlı olarak, muhtemelen terimleri (dinamik programlama stili) yeniden birleştirmenin çeşitli yollarını önceden hesaplayabilirsiniz , böylece çarpmaların çoğu (veya tümü) sadece aramalardır. Hükmedilen maliyet, aramaların sayısı veya kabaca . Eğer Bu betonun sadece bir avuç, aritmetik işlemler olduğunu.$T$$O(\log d)$$d=1000$