Fonksiyonlar için eta-denklik Haskell'in seq işlemi ile karşılaştırılabilir mi?

Lemma: Eta denkliği varsayalım (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B.

İspat: ⊥ = (\x -> ⊥ x)eta-denklik ve (\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)lambda altında azalma ile.

Haskell 2010 raporu, bölüm 6.2 seqfonksiyonu iki denklemle belirtir :

seq :: a -> b -> b
seq ⊥ b = ⊥
seq ab = b, eğer bir ≠ ⊥

Daha sonra "Sonuç olarak, ⊥ \ x -> ⊥ ile aynı değildir, çünkü seq onları ayırt etmek için kullanılabilir."

Benim sorum şu, bu gerçekten tanımının bir sonucu seqmu?

Örtük argüman, seqeğer o zaman hesaplanamaz olurdu seq (\x -> ⊥) b = ⊥. Ancak böyle bir seqşeyin hesapsız olacağını kanıtlayamadım. Bana öyle geliyor ki böyle bir seqhem monoton hem de sürekli, onu hesaplanabilir olma alanına sokuyor.

Bazıları için aramak için çalışarak seq kudreti çalışması gibi uygulamak bir algoritma xnerede f x ≠ ⊥etki alanını numaralandırma tarafından f⊥ ile başlayan. Her ne kadar böyle bir uygulama, mümkünse bile, seqpolimorfik yapmak istediğimizde oldukça kıllı olur .

Bir kanıt yok hesaplanabilir olduğunu var mı seqolduğunu belirler (\x -> ⊥)ile ⊥ :: A -> B? Alternatif olarak, bazı inşaat var seqtanımlamak olmadığını (\x -> ⊥)sahip ⊥ :: A -> B?

İlk olarak, ⊥ ile λ x arasındaki seqfarkı açıklayalım . ⊥ :$\bot$$\lambda x . \bot$

bottom :: a
bottom = bottom

eta :: a -> b
eta x = bottom

-- This terminates
fortytwo = seq eta 42

-- This does not terminate
infinity = seq bottom 42

$\bot$$\lambda x . \bot$seqseqseq$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$ katılıyorum, ötekinde değil.

$\lambda$$[D \to E]$$\bot = \lambda x . \bot$seq

$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$$\eta$$[D \to E]_\bot$$\bot$$[D \to E]_\bot$$\lambda x . \bot$$\bot$seq

seqAlıntı yaptığınız belirtimin tanımı olmadığını unutmayın . Haskell raporunu alıntılamak için "seq işlevi denklemler : [ve sonra verdiğiniz denklemler] tarafından tanımlanır ".

Önerilen argüman, seq (\ x -> ⊥) b = ⊥ ise seq'in hesaplanamayacağı gibi görünmektedir.

Bu tür davranışların şartnamelerini ihlal eder seq.

Önemli olarak, seqpolimorfik seqolduğu için, iki parametrenin herhangi birinde yapısökücüler (projeksiyonlar / desen eşleştirme vb.) Olarak tanımlanamaz.

\ :: A -> B ile (\ x -> ⊥) tanımlayan hesaplanabilir bir seq olmadığını gösteren bir kanıt var mı?

Eğer seq' (\x -> ⊥) bbiri ilk parametreyi (bir işlevdir) bir değere uygulayıp sonra çıkabileceğimizi düşünebilir. Ancak, parametrik polimorfik tipi nedeniyle seqilk parametreyi asla bir işlev değeri ile tanımlayamaz (bir miktar kullanım için bir tane olsa bile seq). Parametriklik, parametreler hakkında hiçbir şey bilmediğimiz anlamına gelir. Ayrıca, seqasla bir ifade alıp "bu ⊥?" (bkz. Durma problemi), seqsadece onu değerlendirmeye çalışabilir ve kendisi ⊥'ye yönelebilir.

Ne seqyapar, daha sonra (tam olarak, ama en üstteki kurucusuna "zayıf baş normal formda" [1], yani,) ilk parametre değerlendirmek ikinci parametre döndürmektir. İlk parametre ⊥(yani, sonlandırıcı olmayan bir hesaplama) olursa , o zaman değerlendirmek seqsonlandırılmamasına neden olur ve dolayısıyla seq ⊥ a = ⊥.

[1] seq Varlığında Ücretsiz Teoremler - Johann, Voigtlander http://www.iai.uni-bonn.de/~jv/p76-voigtlaender.pdf

$\lambda x.\, \bot$$\lambda x.\, \bot$

Samson Abramsky bu konuyu uzun zaman önce ele aldı ve " The Lazy Lambda Calculus " adlı bir makale yazdı . Yani, resmi tanımlar istiyorsanız, burası bakabileceğiniz yerdir.

Bunu kanıtlamak λ x. Ram ‌ ≠ Ω, Abramsky'nin tembel lambda kalkülüs teorisi ( Uday Reddy tarafından alıntılanan makalesinin 2. sayfası) için belirlediği hedeflerden biridir , çünkü ikisi de zayıf kafa normal formundadır. Tanım 2.7 itibariyle, açıkça eta indirgeme λ x tartışıyor. M x → M genellikle geçerli değildir, ancak M her ortamda sona ererse mümkündür. Bu, M'nin toplam bir işlev olması gerektiği anlamına gelmez - yalnızca M'yi değerlendirmenin sona erdirilmesi gerektiği anlamına gelir (örneğin bir lambdaya indirgeyerek).

Sorunuz pratik kaygılarla (performans) motive olmuş gibi görünüyor. Ancak, Haskell Raporu tamamen net olmasa da, λ x eşitliğinden şüpheliyim. ‌ ‌ ile ⊥ Haskell'in faydalı bir uygulamasını üretecektir; Haskell '98'i uygulasın ya da uygulamasın tartışmalı olsa da, söze göre, yazarların durumun böyle olmasını istediği açıktır.

Son olarak, rastgele bir girdi türü için elemanlar nasıl oluşturulur? (QuickCheck'in bunun için Keyfi tip sınıfını tanımladığını biliyorum, ancak bu tür kısıtlamaları buraya eklemenize izin verilmiyor). Bu parametrikliği ihlal eder.

Güncellendi : Bu hakkı kodlamayı başaramadım (çünkü Haskel'de çok akıcı değilim) ve bunu düzeltmek iç içe runSTbölgeler gerektiriyor gibi görünüyor . Bu tür keyfi öğeleri kaydetmek, daha sonra okumak ve evrensel olarak kullanılabilir hale getirmek için tek bir referans hücresi (ST monad'da) kullanmayı denedim. Parametriklik break_parametricity, önerilen seq'in üreteceği öğeleri kurtarabilirken, aşağıda tanımlanamayacağını (altta döndürme, örneğin bir hata hariç) kanıtlar .

import Control.Monad.ST
import Data.STRef
import Data.Maybe

produce_maybe_a :: Maybe a
produce_maybe_a = runST $ do { cell <- newSTRef Nothing; (\x -> writeSTRef cell (Just x) >> return x) `seq` (readSTRef cell) }

break_parametricity :: a
break_parametricity = fromJust produce_maybe_a

İtiraf etmeliyim ki burada gerekli olan parametrik kanıtın resmileştirilmesinde biraz bulanıkım, ama parametrikliğin gayri resmi kullanımı Haskell'de standart; ama Derek Dreyer'in yazılarından, gerekli teorinin bu son yıllarda hızla çözüldüğünü öğrendim.

düzenlemeler:

• ML benzeri, zorunlu ve türlenmemiş diller için incelenen bu uzantılara ihtiyacınız olup olmadığından veya klasik parametrik teorilerinin Haskell'i kapsadığından emin değilim.
• Ayrıca, Derek Dreyer'den bahsetmiştim, çünkü daha sonra sadece Uday Reddy'nin çalışmasına rastladım - sadece son zamanlarda "Reynolds'ın özü" nden öğrendim. (Parametriklik ile ilgili literatürü sadece son bir ayda okumaya başladım).