2B dikdörtgen renklendirme sorunu için sabit bir faktör yaklaşım algoritması var mı?

Burada düşündüğümüz sorun, iyi bilinen aralık renklendirme sorununun uzantısıdır. Aralıklar yerine, eksenlere paralel kenarları olan dikdörtgenleri dikkate alıyoruz. Amaç, üst üste gelen iki dikdörtgene farklı renkler atanacak şekilde dikdörtgenleri minimum sayıda renk kullanarak renklendirmektir.

Bu sorunun NP-zor olduğu bilinmektedir. Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein ve Andrezej Lingas (Kutu Grafiklerinde Maksimum Bağımsız Küme ve Minimum Köşe Renklendirmesine Yaklaşım) O (log n) yaklaşımı verdi. Daha iyi bir yaklaşım algoritması var mı?

Aralık renklendirme probleminin, sol uç noktalarına göre aralıklar dikkate alınarak ilk uyum algoritması ile polinom zamanda çözüldüğünü biliyoruz. Bununla birlikte, aralıklar rastgele sırada göründüğünde ilk uyum çevrimiçi algoritması 8 rekabetçidir.

Dikdörtgen renklendirme problemi için ilk uyum algoritmasının performansı nedir? Dikdörtgenler sol (dikey) kenarlarına göre göründüğünde ilk sığdırma algoritmasına ne olur?

Bu konuda herhangi bir yardım için şimdiden teşekkür ederiz.

Diğer cevabın önerdiği gibi, $\Omega(\log n)$ alt sınırını görmek çok zor değildir. Süpürme tabanını yatay bir çizgi ile yapalım. Fikir, daha fazla ve daha fazla renk gerektiren bileşenler oluşturmaktır. Özel olarak, izin $C(i)$ bir renk ile bir üst dikdörtgen olan bir alet olabilir $i$ (yani, birinci uygun o renk atamak $i$ ). Açıkçası, $C(1)$ sadece tek bir dikdörtgendir. Bileşen $C(2)$ olduğu

$C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$

$k$$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$

$O( \log n)$

Bildiğim kadarıyla bu bilinmiyor. Asplund ve Grunbaum'un eski bir makalesi (1960ish), eğer sayı numarası 2 ise, kromatik sayının en fazla 6 olduğunu (ve bu da sıkı) göstermektedir. İlk uyum için boşluğun herhangi bir sabitten daha büyük olduğu örnekleri bulmak kolay olmalı, çünkü ağaçlar dikdörtgenlerin kesişim grafiği ile temsil edilebilir ve ağaçlar herhangi bir çevrimiçi algoritma tarafından giriş renkleri gerektirir.

Sanırım Asplund, Grunbaum kağıdı veya daha sonraki yazılar, dikdörtgen kesişme grafiklerinin kromatik sayısının en fazla O (k ^ 2) olduğunu, burada k maksimum klik boyutundadır ... ancak, bilinen bir şey olmadığını k renk sayısında doğrusaldan daha fazlasını gerektiren örnekler.