Bir tamsayının faktör sayısını saymak ne kadar zor?

Bir tamsayıdır verilen uzunluğunun bit, bu bir (veya alternatif olarak faktör sayısı) asal faktör sayısı çıkışına kadar zor ? $N$ $n$ $N$

asal çarpanlarını bilseydik, bu kolay olurdu. Bununla birlikte, asal faktörlerin sayısını veya genel faktörlerin sayısını bilseydik, asıl asal çarpanlaştırmayı nasıl bulacağımız açık değildir. $N$

Bu problem inceleniyor mu? Asal çarpanlara ayırmadan bu soruyu çözen bilinen algoritmalar var mı?

Bu soru meraktan, kısmen de matematikten kaynaklanır .

— Artem Kaznatcheev
kaynak

Asal faktörlerin sayısı yüksekse, bu, N'nin kolayca bulunabilen küçük bir faktöre sahip olduğu anlamına gelir. Öte yandan, N'nin asal çarpanlarının sayısı azsa, 2 söyleyin, o zaman iki asal bir ürünü çarpanlara ayırma sorununa benzer ve faktör sayısının 2 olmadığını bilmek de yardımcı görünmez. Bu soruyu Omid'in ortalama sertlikleri hakkında görün .

— Kaveh

Bir şey daha, bölünme

üniform olduğu için , tüm faktörleri sayma problemi (sadece asal çarpanlar değil)

ve bu nedenle

(ve muhtemelen

altında

için de tamamlanmıştır.

indirim).

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

P

$\mathsf{P}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Kaveh, yukarıdaki yorumunuzu bir cevaba genişletirseniz, bu harika olur. İçinde bölünme nasıl tam olarak görmüyorum

yılında sayım faktörlerine sizi alır

da faktoring içinde olduğunu ima etmeden

. Bu yanlış anlama kendi başarısızlıklarımdan kaynaklanıyor olabilir, ancak daha ayrıntılı bir cevap yardımcı olabilir.

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

# {TC}^{0}

$\#\text{TC}^0$

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

— Derrick Stolee

bilinen AFAIK! ve bu çok kolay. Fakat tartışmanın nerede bozulduğunu anlamıyorum. ps: Gördüğümü biliyorum,

tanımım iyi değil (

aynı ) ve sorun budur sanırım .

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$

— Kaveh

@Artem,

, bir

makinesinin kabul eden yollarının sayısı olarak tanımlanır ve bir

makinesi,

tahmin etmek için yalnızca logaritmik (

) alan miktarını kullanabilir . Biz Yazdığım tanımı, bir kullanırsanız Biz çok fazla bit tahmin edilmektedir

yakalayacağı polynomially birçok tahminlerle hesaplama

Benzer sayısını sayarak,

bir o ler polinom büyüklükte

makinesi onları verecektir üzerinde kabul

# L

$\mathsf{\#L}$

N L

$\mathsf{NL}$

N L

$\mathsf{NL}$

| y |

$|y|$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

N P

$\mathsf{NP}$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$ (hesaplamayı da tahmin edin ve bunun gerçekten kabul edilebilir bir hesap olduğunu doğrulayın).

— Kaveh

Yanıtlar:

Bu benim cevabım değil ama Terrence Tao , MathOverflow hakkındaki bu soruya güzel bir cevap verdi .

İşte cevabının ilk birkaç satırı. Cevapların tamamını okumak için bağlantıyı takip edin.

Bir tamsayı n'nin asal çarpanlarının sayısını hızlı bir şekilde sayabiliyorsa, o zaman birinin hızlıca tam olarak çarpanlara katlanabileceğini gösteren bir folklor gözlemi var. Bu nedenle sayma ana faktörleri sorununun, faktoring ile karşılaştırılabilir bir zorluk yaşadığına inanılmaktadır.

(Bunun bir cevap mı yoksa bir yorum mu olması gerektiğinden emin değildim. bana itibar veriyor.)

— Robin Kothari
kaynak

Benim düşünceme göre, böyle bir cevabın bir göstergesi, itibar puanlarını hak ediyor (bu yüzden topluluk wiki olmamalı), ama farklı insanların farklı görüşleri olduğunu anlıyorum.

— Tsuyoshi Ito

Ama bu resmi bir indirim değil ....

— arnab

@ arnab: Hayır, değil. O “sonra bir olur yazdım nedeni budur muhtemelen . Çabucak faktörüne n tamamen muktedir”

— Tsuyoshi Ito

Diğerlerinin de belirttiği gibi, faktörlerin sayılması büyük olasılıkla faktoring gerektirir. Bununla birlikte, deneme bölünmesi faktör sayısını sınırlayabilir. Örneğin en fazla faktörü olduğunu biliyorsunuz, çünkü hiçbir faktör 2'den az olamaz. 2'ye bölünebilir olup olmadığını test ederek, en fazla faktörüne sahip olduğunu da bilirsiniz . Dezavantajı ise her boyuttaki küçültmenin giderek daha zor olmasıdır - faktöründen daha fazla içeren dışlamak için değerine kadar test etmeniz gerekir . $N$ $n$ $N$ $N$ $\log_3(N)$ $N^{1/p}$ $N$ $p$

— Foo Barrigno
kaynak