Bezier eğrisi yay uzunluğu

Ayrıca bakınız: Math.SE'de aynı soru

Bezier eğrisinin yayını nasıl bulabilirim? Örneğin, doğrusal bir Bezier eğrisi uzunluğa sahiptir:

length = sqrt(pow(x[1] - x[0], 2) + pow(y[1] - y[0], 2));

Peki ya ikinci dereceden, kübik veya n derece Bezier eğrileri?

(Amacım önceden bir örnekleme çözünürlüğü tahmin etmekti, bu yüzden bir sonraki noktanın önceki noktaya dokunup dokunmadığını kontrol etmekle zaman kaybetmek zorunda kalmam.)

Kübik Beziers için basit bir yol, eğriyi N segmentlere ayırmak ve segmentlerin uzunluklarını toplamaktır.

Bununla birlikte, eğrinin sadece bir kısmının uzunluğuna ihtiyaç duyduğunuzda (örneğin, uzunluğun% 30'una kadar bir noktaya kadar), yay uzunluğu parametresi devreye girecektir. Ben yayınlanmıştır oldukça uzun bir cevap basit örnek kodla, Bézierstam hakkında kendi sorulardan biri.

Zaten aldığınız cevapları benimsediğimde, herhangi bir derece Bézier eğrisi için kullanabileceğiniz basit ama güçlü bir yaklaşım mekanizması eklemek istiyorum: Kontrol noktasının maksimum mesafesine kadar de Casteljau alt bölmesini kullanarak eğriyi sürekli olarak bölüyorsunuz alt eğrinin taban çizgisine giden bir alt eğrinin bir kısmı sabit epsilonun altındadır . Bu durumda, alt eğri taban çizgisine göre yaklaştırılabilir.

Aslında, bunun bir grafik altsisteminin bir Bézier eğrisi çizmesi gerektiğinde, genellikle uygulanan yaklaşım olduğuna inanıyorum. Ama benden alıntı yapma, şu anda elimde referans yok.

Uygulamada şöyle görünecektir: (dilin alakasız olması dışında)

public static Line[] toLineStrip(BezierCurve bezierCurve, double epsilon) {
    ArrayList<Line> lines = new ArrayList<Line>();

    Stack<BezierCurve> parts = new Stack<BezierCurve>();
    parts.push(bezierCurve);

    while (!parts.isEmpty()) {
        BezierCurve curve = parts.pop();
        if (distanceToBaseline(curve) < epsilon) {
            lines.add(new Line(curve.get(0), curve.get(1)));
        } else {
            parts.addAll(curve.split(0.5));
        }
    }

    return lines.toArray(new Line[0]);
}

Bezier eğrilerinin yay uzunluğu sadece doğrusal ve ikinci dereceden olanlar için kapalı formdadır. Kübikler için kapalı bir çözüme sahip olması garanti edilemez. Sebep yay uzunluğu, sadece 2. derece polinomlar için kapalı olan radikal bir integral ile tanımlanır.

Sadece referans için: (a, p) (b, q) ve (c, r) noktaları için ikinci dereceden bir Bezier uzunluğu

(a ^ 2 · (q ^ 2 - 2 · q · r + r ^ 2) + 2 · a · (r - q) · (b · (p - r) + c · (q - p)) + ( b · (p - r) + c · (q - p)) ^ 2) · LN ((√ (a ^ 2 - 2 · a · b + b ^ 2 + p ^ 2 - 2 · p · q + q ^ 2) · √ (a ^ 2 + 2 · a · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · q + r) ^ 2) + a ^ 2 + a · (c - 3 · b) + 2 · b ^ 2 - b · c + (p - q) · (p - 2 · q + r)) / (√ (a ^ 2 + 2 · A · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · q + r) ^ 2) · √ (b ^ 2 - 2 · b · c + c ^ 2 + q ^ 2 - 2 · q · r + r ^ 2) + a · (b - c) - 2 · b ^ 2 + 3 · b · c - c ^ 2 + (p - 2 · q + r) · (q - r))) / (a ​​^ 2 + 2 · a · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · Q + r) ^ 2) ^ (3/2) + (√ (a ^ 2 - 2 · a · b + b ^ 2 + p ^ 2 - 2 · p · q + q ^ 2) · (a ^ 2 + a · (c - 3 · b) + 2 · b ^ 2 - b · c + (p - q) · (p - 2 · q + r)) - √ (b ^ 2 - 2 · b · c + c ^ 2 + q ^ 2 - 2 · q · r + r ^ 2) · (a · (b - c) - 2 · b ^ 2 + 3 · b · c - c ^ 2 + (p - 2 · q + r) · (q - r))) / (a ​​^ 2 + 2 · a · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · Q + r) ^ 2)

LN'nin doğal logaritma olduğu ve ^ gücü ve karekökü ifade eder.

Bu nedenle, bir poligon veya Simpson'ın kuralı gibi bir entegrasyon şeması gibi yayı başka bir kuralla yaklaştırmak daha kolay ve ucuz olmalıdır, çünkü LN'nin kare kökleri pahalı işlemlerdir.

3 puanlık Bezier (aşağıda) için kapalı uzunluktaki ifadeyi çalıştım. 4+ puan için kapalı bir form oluşturma girişiminde bulunmadım. Bu büyük olasılıkla temsil ve idare etmek zor olabilir. Bununla birlikte, Runge-Kutta entegrasyon algoritması gibi sayısal bir yaklaşım tekniği, yay uzunluğu formülünü kullanarak bütünleşerek oldukça iyi çalışacaktır . RK45'teki Soru ve Cevaplarım , RK45 uygulamasına yardımcı olabilir.

Burada puanla 3 puanlı Bezier yayı uzunluğu için bazı Java kodu vardır a, bve c.

    v.x = 2*(b.x - a.x);
    v.y = 2*(b.y - a.y);
    w.x = c.x - 2*b.x + a.x;
    w.y = c.y - 2*b.y + a.y;

    uu = 4*(w.x*w.x + w.y*w.y);

    if(uu < 0.00001)
    {
        return (float) Math.sqrt((c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y));
    }

    vv = 4*(v.x*w.x + v.y*w.y);
    ww = v.x*v.x + v.y*v.y;

    t1 = (float) (2*Math.sqrt(uu*(uu + vv + ww)));
    t2 = 2*uu+vv;
    t3 = vv*vv - 4*uu*ww;
    t4 = (float) (2*Math.sqrt(uu*ww));

    return (float) ((t1*t2 - t3*Math.log(t2+t1) -(vv*t4 - t3*Math.log(vv+t4))) / (8*Math.pow(uu, 1.5)));