Sonlu farklar yöntemi kullanılırken eğri sınır koşullarıyla nasıl başa çıkılır?

PDE'yi kendi başıma sayısal olarak çözmeyi öğrenmeye çalışıyorum.

Bir süredir sonlu farklar yöntemi (FDM) ile başladım çünkü FDM'nin PDE için sayısız sayısal yöntemin temeli olduğunu duydum. Şimdiye kadar FDM için temel bir anlayışa sahibim ve kütüphane ve internette bulduğum materyallerle düzenli bir bölgede bulunan basit bir PDE için kod yazabildim, ancak garip olan şey, genellikle aldığım malzemeler gibi kavisli gayri muntazam tedavisi, garip sınır, yaklaşık bu .

Dahası, kavisli sınırla başa çıkmak için kolay bir yol görmedim. Örneğin, kitap Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü - An Introduction (Morton K., Mayers D) (esas olarak en ayrıntılı tartışma içerir, 3.4 P71 gelen ve 6.4 şimdiye kadar gördüğüm p199 itibaren), çevrilmiş durumda benim için gerçekten hantal ve sinir bozucu bir ekstrapolasyon.

Peki, başlığın dediği gibi, kavisli sınır ile ilgili olarak, insanlar genellikle FDM'yi kullanırken bununla nasıl başa çıkıyor? Başka bir deyişle, bunun için en popüler tedavi nedir? Yoksa PDE tipine mi bağlı?

Kavisli sınırla başa çıkmanın (en azından nispeten) zarif ve yüksek hassasiyetli bir yolu var mı? Yoksa sadece kaçınılmaz bir acı mı?

Hatta sormak istiyorum, insanlar bugünlerde kavisli sınır için FDM kullanıyor mu? Değilse, bunun için ortak yöntem nedir?

Herhangi bir yardım mutluluk duyacağız.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
kaynak

Yanıtlar:

Önce son sorunuzu cevaplarken, insanlar bugünlerde eğri sınır için FDM kullanıyorlar mı? Cevabın hayır olduğunu söyleyebilirim. Ticari CFD dünyasında, 2. derece doğru sonlu hacim şemaları fiili endüstri standardıdır. FV'nin (ve sonlu eleman / süreksiz galerkin yaklaşımlarının Jed'den bahsettiği) FD'ye göre avantajlarından biri, karmaşık sınırların çok daha doğal bir şekilde ele alınmasıdır. FD, birçok sayısal yöntemin temelini sağlar (FV dahil) ve ilk adım olarak öğrenmek gerekir, ancak büyük ölçekli karmaşık problemler için önerilmez.

FD'deki karmaşık sınırlarla uğraşmaya gelince, iki kanonik yol düşünebilirim, bunlardan biri bahsettiğiniz enterpolasyon / ekstrapolasyon yöntemi. Diğer fiziksel kullanım vücuda takılan ızgara noktaları için "hesaplama" için bir uyumlu haritalama ile alan alanı . Sonra biri gibi terimleri yeniden yazabilirsiniz $(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

burada olarak adlandırılır terimleri sistemi koşullarının ve ilgili bir sorun başında hesaplanabilmektedir (ya da basit bir alan için tam olarak doğru bir olabilir uygun eşleme kullanılabilir) ve türevleri mantıksal olarak basit bir hesaplama alanında hesaplanabilir. Bu işlem, sınır koşullarının uygulanmasını kolaylaştırır, ancak yeterince düzgün, nominal olarak dik eğrisel bir kafes oluşturulmasını gerektirir. $\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Vücuda takılan bu ızgara yaklaşımının, FD'deki kavisli sınırlarla başa çıkmak için "en popüler tedavi" olduğunu ve FD yöntemlerinin karmaşık uygulamalarda artık çok "popüler" olmadığı uyarısı olduğunu söyleyebilirim. Çok basit alanlar dışında CFD literatüründe hâlâ geldiklerini görmek nadirdir.

— Aurelius
kaynak

"Cevabın hayır olduğunu söyleyebilirim" ifadeniz doğru değil. Visbal ve Gaitonde, FDL3DI kodunda daha üst düzey FD ile yoğun bir şekilde çalışır . Ayrıca, NASA'nın OVERFLOW kodu (bildiğim / söyleyebildiğim kadarıyla) bir FD kodudur.

— Brian Zatapatique

OVERFLOW başlangıçta tamamen FD idi, ama şimdi genellikle FV akı bölme (AUSM, HLLC, vb., Bağlantınızın Ch 1'inde) kullanıyor. Ayrıca kesinlikle "eski" kod. Bu FDL3DI bağlantısı 90'lı yıllarda yüksek dereceli sonlu elemanlar / DG temelli çalışmanın emekleme döneminde olduğu ve herhangi bir gösterilebilecek yüksek dereceden hassas sonlu hacim şemalarının olmadığı işten kaynaklanmaktadır. Sanırım 2013'te birisini o çalışmanın kompakt sonlu fark stratejisine dayanan bir kod geliştirmeye başlamak için ikna etmekte zorlanacaksınız. Olduğu kadar zarif, uygulamalar için çok kısıtlayıcı.

— Aurelius

Büyük ölçekli karmaşık problemler için FD kullanmanın tavsiye edilmediğine dair ifadenizin genelliğine katılmıyorum. Günümüzde, HPC'deki insanlar, sonlu eleman şemalarını şablon benzeri bir şekilde yeniden düzenleme eğilimindedir ve aşırı ölçekli bilgi işlem için matrissiz çözücüler verimli bir şekilde uygulamak için (yarı) yapılandırılmış ızgaralar kullanırlar. Bu nedenle, oldukları gibi modası geçmiş insanlar hala sonlu farklılıkları kullanmak istiyor. Yapısal kafeslerle kurtulabileceğiniz uygulamalar olduğunu belirtmiyoruz. Karmaşık geometriler için standart FD ağrılıdır ve belki de belirtmek istediğiniz şey budur.

— Christian Waluga

Basit kavisli geometriler için yüksek dereceli FD, yüksek dereceli spektral fark / hacim, akı-yeniden yapılanma veya DG yöntemlerini verimlilik temelinde (doğruluk / zaman) kazanacaktır. Karmaşık olanlar için, ızgara üretimi alternatif yaklaşımları denemeniz için baş ağrısından yeterli olabilir. Unutulmamalıdır ki, yukarıda bahsedilen yöntemlerin çok önemli esnekliği önemli bir maliyete sahiptir, bu makaleye bakın Loehner . FDL3DI ve OVERFLOW'un hala kullanımı görmesinin bir nedeni budur.

— Brian Zatapatique

@ChristianWaluga evet temelde belirtmeye çalıştığım şey buydu. Açıkçası FD fikirleri diğer uygulamalara (örneğin FV'deki degradeler sonlu farklarla hesaplanır) ve basit geometriler üzerinde DNS gibi belirli alanlarda kullanıldığını görür. Ancak genel amaçlı kodlar için son yirmi yıldaki eğilim saf FD'den oldukça açıktı.

— Aurelius

Kavisli sınırlar çoğu CFD kitabında, örneğin Wesseling'in 11. Bölümü veya Ferziger ve Peric'in 8. Bölümünde yer almaktadır .

Temel bir teorik sorun olmasa da, eğri sınırlarda yüksek dereceli yöntemler için sınır koşullarının uygulanmasının pratik karmaşıklığı, sonlu eleman yöntemi (süreksiz Galerkin dahil) gibi daha geometrik olarak esnek yöntemlere ilgi için önemli bir nedendir. Yapılandırılmış sonlu farklar ve sonlu hacim ızgaraları bazı CFD simülasyonlarında hala kullanılmaktadır, ancak yapılandırılmamış yöntemler popülerlik kazanmaktadır ve yüksek dereceli yapılandırılmamış yöntemlerle kullanılan yerel işlemler aslında oldukça verimlidir ve bu nedenle benzer FD'ye kıyasla verimlilikte çok fazla kayıp olmayabilir. yöntemleri. (Aslında, geometrik esneklik onları daha verimli hale getirir.)

— Jed Kahve
kaynak

Harika cevap Jed. Bulunan bir sıvılar problemi düzensiz M.Ö. en ele alma çok adım adım açıklaması yoktur benim tez p38-46. Açıkçası FD formülasyonlarında bunu yapmak büyük bir A * # ağrısıdır. Alınması gereken önemli kavrayış, kavisli BC'lerin çok sayıda sonsuz düz olanlarla yaklaşılabileceğidir.

— meawoppl

Son n yıldır yüksek hassasiyetli fdm üzerinde çalıştım. ve elektrostatik -2 dim laplace denklemini yüksek hassasiyetli algoritmaları açıkça geliştirmek için örnek olarak kullandım. yaklaşık 4 yıl öncesine kadar problemler, potansiyel süreksizlik yatay veya dikey çizgilerle inşa edilmiştir. Eğer benim adım google ve fdm yüksek hassasiyetli referansları bulmalısınız. ama bu senin sorunun değil. sorunuz fdm ve eğri sınırlar. yaklaşık bir yıl önce hong kong'da 8 numaralı bir sipariş çözümü sundum (bkz. Eğrisel Sınırlara Sahip Silindirik Simetrik Elektrostatikler için Sonlu Farklar Yöntemi), sınırlara yakın iç noktalar için sıra 8 algoritmaları oluşturdu ve bunlar sınırın diğer tarafında elbette puan gerektirecektir. sınırın diğer tarafındaki noktalar, örgüyü diğer tarafa basitçe uzatarak oraya konulmuştur. bunu yaptıktan sonra, ağın rahatlaması sırasında bu noktaların değerlerini nasıl buluyorsunuz. algoritma kullanılarak sınırdan (bilinen potansiyel) noktaya entegre edilerek gerçekleştirildi. makul derecede başarılı ve makul doğruydu ~ <1e-11, AMA her biri ayrı ayrı hazırlanmış 103 algoritma gerektirdi ve biraz kırılgandı, kararsız geometriler bulundu. yukarıdakini düzeltmek için (bir!) minimal algoritma kullanılarak bir çözelti bulundu (8 ve aşağıya doğru sıralanmıştır) ve çözelti hatırı sayılır bir sağlamlık göstermektedir. gönderildi ancak bana e-posta göndererek bir ön baskı olarak sunulacaktı. Bu tekniğin laplace dışındaki zaman bağımsız pde'lere (lineer gerekli) ve 2'den büyük boyutlara genişletilebileceğine inanıyorum. Zamana bağlı problemi düşünmedim, ancak bir güç serisi tekniği olan teknik uyarlanabilir ve uygulanabilir olmalıdır. david

— david
kaynak

Makalenizi bir ön baskı sunucusuna (örneğin arXiv gibi) gönderebilir ve daha sonra buraya bağlayabilirseniz, bu yanıtınızı geliştirir. Genel olarak, cevaplar e-posta adresleri içermemelidir. Ayrıca cevabınızı daha özlü hale getirmenizi de öneririm.

— Geoff Oxberry