Sınır koşullarını Galerkin yöntemiyle nasıl birleştirebilirim?

21

Web'de PDE'leri çözmek için Galerkin yöntemleri hakkında bazı kaynaklar okudum, ancak bir şey hakkında net değilim. Aşağıdakiler, anladığımla ilgili kendi hesabım.

Aşağıdaki sınır değer problemini (BVP) düşünün:

L [u (x, y)] = 0 on (x, y) \in Ω, S [u] = 0 on (x, y) \in \partial Ω

$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$

burada $L$ farklılaşma operatör doğrusal 2. sıra olup, $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ BVP'nin alanıdır $\partial\Omega$ etki alanının sınır ve $S$ diferansiyel operatörün doğrusal bir 1 sırasıdır. Expess $u(x,y)$ :

u (x, y) \approx Σ_{ben = 1}^{N-} {bir}_{ben} g_{ben} (x, y)

$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$

burada yaklaşık olarak kullanmak için kullanacağımız bir dizi işlevdir . BVP'de değiştirme: $g_i$ $u$

\sum_{i} a_{i} L [g_{i} (x, y)] = R (a_{1}, . . ., a_{N}, x, y)

$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$

Yaklaşımımız tam olmadığından, kalan tam olarak sıfır değildir. Galerkin-Ritz-Raleigh yöntemde minimize eden gerektirerek fonksiyonları aşağı yukarı kümeye göre . bundan dolayı $R$ $R$ $\langle R,g_i \rangle = 0$

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

Bu nedenle, katsayılarını bulmak için matris denklemini çözmeliyiz: $a_i$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

Sorum şu: Sınır koşullarını buna nasıl dahil edebilirim?

EDIT: Aslında soru 2. dereceden lineer diferansiyel operatör olduğunu söyledi. Birinci derece lineer diferansiyel operatör olarak değiştirdim. $S[u]$

pde finite-element boundary-conditions

— Becko
kaynak

1

becko, hoş geldiniz scicomp! Çapraz yayınlama politikamız diğer Stack Exchange sitelerinin politikalarına uymaktadır . Aynı soruyu (az ya da çok) farklı kitlelere uyarlarsanız çapraz gönderiye izin verebilirsiniz. Sorunuzun başlangıçta gönderildiği sitede tatmin edici bir şekilde (veya hiç) yanıtlanmadığını düşünüyorsanız, sorunuzun bir süre sonra başka bir siteye taşınmasını istemenize izin verilir.

— Geoff Oxberry

Bununla birlikte, genellikle çapraz gönderi için kötü niyetli davranış olarak kabul edilir. Alan 51'deki beta siteleri listesine bakarsanız, birçoğu hala bir yıl sonra herkese açık beta aşamasındadır. Hâlâ bir süre burada olacağız (en azından bu sitedeki soruların çoğunun yanıtlanmasından daha uzun bir zaman ölçeğinde). Ayrıca, mathsorunuzu cevaplayan scicompkullanıcılar da kullanıcı değilse, buradan scicompkopyalayıp yapıştırdığınızda yanıtları için uygun kredi veya atıf almayacaklar veya mathtam tersi.

— Geoff Oxberry

1

Eğer Are emin olduğunu

ayrıca ikinci bir emir operatörüdür? Genel olarak, bu iyi bir sorun değildir. Örneğin,

, o zaman talep edilmektedir

olarak

korkunç benzersiz olmayan çözeltiler (herhangi bir sınır koşulları ile herhangi bir büyük etki alanında PDE çözelti, aynı zamanda örneğin, bir çözelti) sahiptir. Genellikle

(muhtemelen doğrusal olmayan) birinci dereceden bir operatör olmasını isteriz .

S

$S$

S = L

$S = L$

L u = 0

$L u = 0$

\bar{Ω}

$\bar\Omega$

S

$S$

— Jed Brown

2

Bile

, yine benzersiz olmayan çözümlere bakıyoruz.

nin laplace operatörü ve

başka bir ikinci dereceden doğrusal operatör olup olmadığını düşünün . Sonra herhangi

öyle ki

bazı sabit vektör için

S \neq L

$S \ne L$

L

$L$

S

$S$

u

$u$

\nabla u = k

$\nabla u=\mathbf{k}$

k

$\mathbf{k}$ başka bir çözüm yapmak için bir çözüm eklenebilir.

— Dan

1

@GeoffOxberry Gönül rahatlığınız için adresindeki yinelenen soru mathsilindi. Açıkçası soruyu burada tutmakta haklıydınız. Çok yardımcı yanıtlar aldım.

— becko

15

Matematiksel soyutlamalar olmadan hızlı ve genel cevaplar. Sınır koşullarını uygulamak için çeşitli seçenekler vardır, örn.

Açıkça söylemek gerekirse Galerkin yöntemi, sorunun BC'sini tatmin eden bir dizi temel işlev seçmenizi gerektirir (örn . Homojen olmayan çözümlerden sorumlu wit temel rekombinasyonu ve / veya bölünmesi yoluyla ve $u_h=u_0+u_N$ $u_0$ , homojen koşulları sağlayan temel fonksiyonlara dayanan kısmi bir toplam) $u_N$

Bir esas olarak sınır koşulu, dahil bir ceza terimi eklemek ceza yöntemleri / Lagrange çarpar, örneğin A + kesikli sınır koşulu ve sorumlu bir matris homojen olmayan açısından sorumludur. sınırında koşullar güçlü bir şekilde uygulanır ve aksi takdirde zayıf bir şekilde uygulanır. seçimi sistemin koşullandırılmasını etkiler. $\tau*B = b + \tau*b_p$ $B$ $b_p$ $\tau\to\infty$ $\tau$
Bir dizi denklemin (Galerkin sistemindeki sıraların değiştirilmesi) sınır koşullarının ayrık versiyonları ile değiştirildiği Tau yöntemi, daha sonra açık bir şekilde uygulanır. Not: Bir seçenek, sistemleri ek sınır koşulları ile fazla tanımlamaktır.
Ayrıklaştırmadan önce (Ritz Yöntemi) hacim integrallerini sınır integrallerine dönüştürmek için Gauss diverjans teoremi yoluyla Galerkin formülasyonunu yeniden yazın ve ardından (kesin veya yaklaşık olarak) sınır koşullarını doğrudan ayrıştırmadan önce formülasyona dahil edin.
Son olarak, nodal / modal açılımlar arasındaki bağlantıdan yararlanarak, sisteme çözümün bir modal temelden ziyade bir Lagrange temelinin katsayıları olduğu bir nodal Galerkin yöntemi elde etmek de mümkündür.

— Allan P. Engsig-Karup
kaynak

1

Sanırım

ise

, öyle değil mi?

τ

$\tau$

λ

$\lambda$

— shuhalo

Evet. düzeltildi.

— Allan P. Engsig-Karup

1

"Galerkin yöntemi , sorunun BC'sini tatmin eden bir dizi temel işlev seçmenizi gerektirir" yazmalı mıdır?

— knl

@knl: Ben de öyle düşünüyorum, oysa diğer cümle hiçbir anlam ifade etmiyor. Bir düzenleme yapacağım.

— davidhigh

7

Bir olasılık, sistem matrisi ve sağ taraftaki vektör , diğer serbestlik dereceleri gibi bilinmeyen serbestlik dereceleriyle birleştirmektir. Daha sonra, ve , öngörülen dofs ile ilişkili satırları ve sütunları sıfırlayarak ve birini karşılık gelen diyagonal girişe koyarak ve rhs vektörü uygun şekilde değiştirerek değiştirilir . $A$ $b$ $A$ $b$ $b$

Satırları sıfırladığınızda, birini diyagonalin içine koyun ve belirtilen değeri uygulayacak şekilde rh'leri değiştirin, sistem artık simetrik değildir. Bu yüzden sütunları sıfırlar ve rhs vektörünü değiştirirsiniz $b$ hesaba katmak için .

Başka bir olasılık, öngörülen dofun diyagonaline çok sayıda (genellikle 1e10) eklemek ve daha sonra rhs girişini p * , burada bu için öngörülen değerdir. $p$ $\bar{u}$ $\bar{u}$

— Bernardo MR
kaynak

6

Sınır koşullarıyla sonlu elemanlar yöntemi ile başa çıkmanın genel sorunu oldukça karmaşık hale gelebilir. Ama eğer:

sadece montaj şekildedir formuna yapar bazı eşit olmasıdır ile . $S(u)$ $S(u)=0$ $u$ $f(x,y)$ $\delta \Omega$
Böylece söz konusu elemanlar finagle olabilir çeşitli elementlerin sınırları tamamen $\delta \Omega$

aslında çok basit. Denkleminiz:

yerine

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = b

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$

burada sağ taraf vektörü sınır koşullarını temsil eder. $\mathbf{b}$

Belirlemek için , değerini belirlemek için esas unsurlarını set üzerinde ne kadar onlar sınır koşulları karşılamak için olması gerekiyor değer verir. Gelen , sen dışında tutmak gerekir değil (unsurları bunlar matris içinde dahil edilmemelidir nedenle bu fonksiyonların bu karşılık gelmektedir zaten tespit edilmiştir denklem) . Daha sonra, ayarlanmış $\mathbf{b}$ $u$ $\delta \Omega$ $\langle L[g_j],g_i \rangle$ $g_j$ $g_i$ $\mathbf{a}$

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$ as a matrix equation, and the values of the elements of

b

$\mathbf{b}$ should pop right out as the inner products of

L

$L$ operating on your your interior basis with elements of your boundary basis.

— Dan
kaynak

Thanks for the answer Dan. I don't understand the paragraph that begins "To determine

b

$\mathbf{b}$ ..." (which is the essential part, I think). Could you make it a little more explicit?

— becko

On the other hand, the problem I'm trying to solve only satisfies the second condition you set: The boundary is a rectangle. As for the first condition, the boundary conditions do not specify the values of the function at the boundary. The boundary conditions specify the values of linear combinations of the second order derivatives of the function (something like

a \partial^{2} u / \partial x \partial y + b \partial^{2} u / \partial x^{2} = 0)

$a\partial^2 u/\partial x\partial y +b\partial^2 u/\partial x ^2 = 0)$ , where

a, b

$a,b$ are constants. Also the boundary conditions are homogeneous.

— becko

@becko: You might want to be more explicit about what

L

$L$ and

S

$S$ are in your question. Different types of boundary conditions can be handled in different ways.

— Dan

1

I edited the question a little to make it clearer, I think. I don't want to post the exact problem I'm trying to solve because I want to keep the question as general as I can. I think I can understand the method better that way.

— becko

@becko: We might want to move this to chat, as it's getting kind of long.

— Dan

2

Here is a method known as basis recombination, which has not been mentioned in the present thread. I'm citing from the book of J.P. Boyd, "Chebyshev and Fourier Spectral Methods", 2nd Ed., Chapter 6.5.:

If the problem
$L u = f$ $L u = f$ has inhomogeneous boundary conditions, then it may always be replaced by an equivalent problem with homogeneous boundary conditions, so long as the boundary conditions are linear. The first step is to choose a simple function $B(x)$ which satisfies the inhomogeneous boundary conditions. One may then define a new variable $v(x)$ and new forcing function $g(x)$ via $u (x) \equiv v (x) + B (x) g (x) \equiv f (x) - L B (x)$ $u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$ so that the modified problem is $L v = g$ $L v = g$ where $v(x)$ satisfies homogeneous boundary conditions. ...
The shift function $B(x)$ is arbitrary except for the constraint that it must satisfy all the inhomogeneous boundary conditions. However, the simplest choice is the best: polynomial interpolation of the lowest order that works.

Next comes my own explanation:

"Inhomogeneous boundary condition" means a condition which contains a constant, e.g.
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = 1.$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$
According to the above program, by choosing a convenient function $B(x)$ , you get that down to
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = 0.$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$
Once you made all boundary conditions homogeneous in this way, you can turn to your basis expansion (which I assume is done in terms of a product basis):
$u (x, y) = \sum_{i j} a_{i j} ϕ_{i} (x) φ_{j} (y)$ $u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ By applying the corresponding BC operator, one obtains $\partial_{x} u (x, y) = \sum_{i j} a_{i j} ϕ_{i}^{'} (x) φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ and this should be zero for $x=x_0$ according to the above example.
Now comes the crucial step: by using a basis $\phi_i(x)$ which already satisfies the BC by itself, i.e. $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$ for all $i$ , the BC of the (transformed) two-dimensional problem are satisfied automatically! Basis sets of this and similar kind can be found, e.g., by a procedure called "basis recombination" (that is often used in combination with collocation methods).
Note that this is the point where homogeneous boundary conditions really matter, because otherwise one would need to impose further constraints. For example, suppose we would be working with the " $=1$ " condition above, and, correspondingly, let's try to use a basis with $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$ . Then
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = \sum_{i j} a_{i j} φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$ and in order to make this expression equal to $1$ for all $y$ , one would have to constrain the expansion coeffcients $a_{ij}$ as well. Thus, for inhomogeneous BCs, there is a general way to apply the constraints to the one-dimensional parts but use it for to the full problem.

The nice thing about this whole approach is that it is working on a relatively abstract level. Necessary ingredients are only linearity of the BC operator and an ansatz in terms of product basis functions. As such, it is also applicable to approximate methods.

— davidhigh
kaynak