Daha yüksek boyutlu parabolik PDE'lerin (çok elektronlu Schrödinger denklemi) çözülmesinde teknolojinin mevcut durumu nedir

Basit kutuplarla (form 1) karmaşık alanda daha yüksek boyutlu (3-10) parabolik PDE'leri çözmek için mevcut teknik nedir?) ve emici sınır koşulları?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Özellikle, çok elektronlu Schrödinger denklemini çözmekle ilgileniyorum:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

1'den fazla elektrona sahip diyatomik bir molekül için.

Denklem için çözümler Elektron sayısıyeterinceazsa,herhangi birgelenekselyöntemikullanabilirsiniz. Bir etki alanı ayrıklaştırma yöntemi (Sonlu Fark, Sonlu Eleman, Sınır Elemanı) veya bir sahte spektrum yöntemi gibi. Bu denklemi çözmek, çok boyutlu bir dalga denklemini çözmekten daha zor değildir.

Daha büyük sistemlerde , çözümü elde etmek için biraz hile gerekir. Bir elektronun elektron bulutu ile etkileşimi için elektron-elektron etkileşimini değiştiririz (geri kalanlarının ortalama alan yaklaşımı) ve sonra kendi kendine tutarlı bir şekilde (ortalama alandan gelen doğrusal olmama nedeniyle) çözeriz süresi). Bu, Hartree-Fock ve Yoğunluk Fonksiyonel Teorisi'nde (DFT) yapılır. Orijinal diferansiyel denklemin varyasyonel bir formülasyona dönüştürülmesi.

DFT günümüzde en yaygın yöntemdir ve avantaj, tüm denklemlerin dalga denklemleri açısından değil, elektron yoğunluğu açısından formüle edilmesidir. Yani, denklemler 3 boyutlu bir uzayda yatar. Bu yöntemlerin her ikisini de açıklayan bir kitap

• Thijssen, Jos, Hesaplamalı fizik. Cambridge University Press, 2007. Amazon bağlantısı .

3 ila 10 partikül sistemi (partikül başına 3D) için mi çözmek istiyorsunuz? Bildiğim kadarıyla, ortalama alan teorileri çok az parçacık için özellikle iyi çalışmıyor, ancak diatomik moleküller üzerinde DFT çalışması var gibi görünüyor.

Bu Born-Oppenheimer'ın geçerli olduğu bir sistem midir? Eğer öyleyse, elektronik dalga işlevini, muhtemelen seyrek ızgara veya spektral seyrek ızgaralar kullanan doğrusal bir Slater belirleyicileri kombinasyonu kullanarak genişletmeye meyilli olabilirim Bu makale belki de yardımcı olabilir .

Diğer bir seçenek, sıkı bağlayıcı bir yaklaşım kullanmayı denemektir, ancak sınır koşullarını emmeyi belirttiğiniz gerçeği, iyonlaşma / ayrışma içeren sorunları düşünüyor olabileceğinizi düşündürmektedir. TB, düşük düzeydeki durumlara yaklaşmaya çalışıyorsanız çoğunlukla yararlı olacaktır.

Muhtemelen çok konfigürasyonlu zamana bağlı Hartree-Fock yöntemi gibi bir şey burada MCTDHF çalışabilir .

Son olarak, kuantum Monte Carlo yöntemlerine bakabilirsiniz. Bunlar, DFT hesaplamaları yapmak için tek atomlar için değişim ve korelasyon fonksiyonel modellerinin elde edildiği yöntemlerdir. Poli-atomik uzantılar var gibi görünüyor. (Bağlantı ayrıcalıklarım yok).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

Bu düşünceden, tüm elektronlarla aynı anda problemi düşünmenin mümkün olmadığı anlaşılmaktadır - kendinizi bir seferde bir veya iki elektronla sınırlamanız gerekir. Bu, doğal olarak, sistemin geri kalanını sabit tutarken elektronlar üzerinde tekrarlayan Hartree Fock yöntemi gibi yöntemlere götürür.

Alanı yeterince iyi bilmiyorum ama konuyla ilgili çok sayıda alıntı yapılan ve iyi yazılmış inceleme makalesi olduğunu hayal edin.