Doğrusal PDE için bu basit hata tahmini ne olacak?

10

Let $\Omega$ çokgen olarak Lipschitz alan sınırlanmış bir dış bükey olabilir $\mathbb R^2$ izin $f \in L^2(\Omega)$ .

$\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Bazı sonlu elemanlar yaklaşımı , mesela, muntazam bir ızgara üzerinde düğüm elemanları ile, hata tahminine sahibiz $u_h$

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Görünüşe göre (belki de yanılıyorum) insanlar genellikle açık hata tahminini kullanmıyor

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

yukarıdaki iki eşitsizliğin kombinasyonu ile elde edilebilir. Bunun yerine, çeşitli şekillerde bir posteriori hata tahmincisi geliştirilir. Yukarıdaki denkleme karşı hayal edebileceğim tek itiraz, sabitinin pratikte çok kötümser veya güvenilir bir şekilde tahmin edilemeyebileceğidir. $C$

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
kaynak

8

İnsanların ilk tahmini kullanmayı tercih etmelerinin nedeni, ilkinin doğal olarak FEM'in Galerkin dikgenliğinden, enterpolasyon yaklaşım özelliğinden ve en önemlisi bilinear formun tutarlılığından (Poisson denkleminin sınır değer problemi için) kaynaklanmasıdır. , işlevleri için Poincaré / Friedrichs eşitsizliğine eşdeğerdir ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ için Poincare / Friedrichs eşitsizlikle sabitine bağlı fonksiyonları, interpolasyon olan sonlu içinde öğe alanı ve

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ ağın minimum açılarına bağlıdır.

Eliptik düzenlilik tahmini yalnızca PDE düzeyindedir, bununla hiçbir ilgisi yoktur. yaklaşık, artı yukarıdaki bağımsız değişken bir dağıtım olsa bile geçerlidir . $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Şimdi, posteriori hata tahminlerinin yaygın olarak kullanılmasının nedenine geçelim, çünkü:

Hesaplanabilir, tahminlerin ifadesinde genel bir sabit yoktur.
Tahmin edicinin, uyarlanabilir ağ inceltme prosedüründe kullanılan yerel hata göstergesi olabilen yerel formu vardır. Bu nedenle, tekillikler veya gerçekten "kötü" geometrilerle ilgili sorun çözülebilir.

Listelediğiniz a priori tip tahminlerin her ikisi de geçerlidir, bize yakınsama emirlerinin bilgilerini sağlarlar, ancak hiçbiri sadece bir üçgen / tetrahedron için yerel bir hata göstergesi olamaz, çünkü ikisi de sabit nedeniyle hesaplanamaz , yerel olarak tanımlanmamıştır.

DÜZENLEME: Eliptik PDE'ler için FEM'in genel bir görünümü için, Brenner ve Scott'ın kitabında Bölüm 0'ı okumanızı şiddetle tavsiye ederim: Sonlu eleman yöntemlerinin neredeyse her yönünü kısaca kapsayan 20 Sonlu Elemanlar Yönteminin Matematiksel Teorisi. PDE'den Galerkin formülasyonundan, bazı problemlerle başa çıkmak için neden uyarlanabilir FEM kullanmak istediğimiz motivasyonuna kadar. Umarım bu size daha fazla yardımcı olur.

— Shuhao Cao
kaynak

1

Tahmininiz iki cephede çok kötümser. İlkini zaten tanımladınız ( şimdi sadece enterpolasyon sabitini değil, aynı zamanda stabilite sabitini de içeriyor). İkincisi, hata tahmininin gerçekte Sağ tarafta norm değil , seminormunun olduğunu unutmayın. Elbette rh'leri tam norm ile bağlayabilirsiniz, ancak bu şekilde tekrar kaybedersiniz. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
kaynak