Zamana bağlı PDE'ler için uzay-zaman sonlu eleman ayrıklaştırması

FEM literatüründe, zamana bağlı PDE'lerin çözeltisinde tipik olarak yarı varyasyonel yöntemler kullanılır. Tamamen varyasyonel bir yaklaşım görmedim, yani uzay ve zamanın FEM tarafından ayrıştırıldığı, belki de yapılandırılmamış uzay-zaman ağlarının kullanımına izin veren. Zaman aşımı yöntemlerinin uygulanması daha kolay olsa da, uzay-zaman ağlamanın uygun olmasının özel bir nedeni var mı? Birinin, belirli bir sorunun fiziksel özelliklerine saygı göstermek için kafesleri uyarlaması gerektiğini düşünüyorum, ancak emin değilim.

Zamana bağlı kısmi diferansiyel denklemlerin tam uzay-zaman ayrıklığı gerçekten de bir şeydir. Zaman içinde yapılandırılmış bir kafes (zaman ayrıklaştırmasının alana bağlı olmadığı anlamında) ve uygun deneme ve test fonksiyonlarını kullanıyorsanız, birkaç standart zaman adımlama yöntemi (Crank-Nicolson, örtülü Euler veya bazı Runge) takabilirsiniz. -Kutta şemaları) analiz için zarif bir yaklaşım sunan bir Galerkin çerçevesine. Bu, örneğin, Thomée'nin Parabolik Problemler için Galerkin Sonlu Elemanlar Yöntemleri (Springer, 2. baskı, 2006) veya Chrysafinos 've Walkington'un Parabolik denklemler için süreksiz Galerkin metotları için Kağıt Hatası tahminlerinde (SIAM J. Numer. Anal. 44.1, 349-366, 2006).

Tamamen yapılandırılmamış bir ağ kullanmak daha az yaygındır, ancak özellikler boyunca bilgi aktarımınız olan hiperbolik problemler için mantıklı olabilir. Süreksiz bir Galerkin formülasyonu kullanırsanız, her uzay-zaman elemanı sadece yüz terimleriyle komşu elemanla birleşir (global süreklilik gereksinimleriniz yoktur) ve karakteristikler boyunca elemandan öğeye giderek çözümü hesaplamak için bir süpürme işlemi kullanabilirsiniz. - bir tür "eğik" zaman adımı. Tabii ki, tam uzay-zaman ağının (engelleyici olabilir) depolanmasını gerektirmese bile, uygulanması çok daha zordur. Öte yandan, yerel (uyarlanabilir) arıtmaya ve dolayısıyla yerel olarak uyarlanabilir zaman adımına izin vermeden yapılandırılmamış ağlardan yararlanırsınız.Elastodinamik için uzay-zamanlı sonlu elemanlar yöntemleri: formülasyonlar ve hata tahminleri , Uygulamalı Mekanik ve Mühendislikte Bilgisayar Yöntemleri 66 (3): 339-363, 1988 . Ayrıca Süreksiz Galerkin Yöntemleri için Spacetime Meshing üzerine Shripat Thite tarafından doktora tezi var .

Bu fikri gördüğüm bir başka bağlam, parabolik problemler için PDE kısıtlı optimizasyonda. Burada, birinci dereceden gerekli optimallik koşullarını, ileriye dönük geriye doğru denklemlerin bir sistemi olarak formüle edebilirsiniz; bu, zaman içinde 2. dereceden karışık formülasyon, ilk finalle birlikte uzay eliptik denkleminde 4. dereceden (ve sınır şartları. Bu birleştirilmiş sistemin uyarlanabilir bir uzay-zaman ayrıklaştırması yaparak, çözümü hesaplamak için etkili bir tek adımlık yaklaşımınız olabilir, bkz. Gong, Hinze, Zhou: Parabolik optimal kontrol problemleri için uzay-zaman sonlu eleman yaklaşımı , J Numer. Matematik. 20 (2): 111-145 (2012) .

Uzay-Zaman Yöntemleri hakkında daha yeni makaleler var. Dan biri var Steinbach, Uzay-Zaman Sonlu Eleman ve başka Langer et. al, Uzay-Zaman İzogeometrik Analizlerinin tümü Parabolik Evrim Sorunlarını ele almaktadır. Her iki makalede de, varyasyonel formülasyonları canlı bir şekilde, ancak farklı ortamlarda açıklarlar. Başlıkların önerdiği gibi, önceki FEM ve son IgA kullanır. Bence bu özellikle aradığınız şeyler hakkında iyi bilgiler veriyor.

Sayısal Matematik monografisinin ikinci baskısının son bölümünde , Quatteroni ve ark. arkadaşları , özellikle ulaşım imkanı yararlı olabilir Uzay-Zaman bir bölüm bulunmaktadır$\theta-$şemaları.

Tensör ürünü Uzay-Zaman uygulaması, tensör esaslı olmayanlardan çok farklıdır. İkincisi, özellikle FEM için biraz zor.