Nitsche'nin sayısal analizde yönteminin genel fikri nedir?

Nitsche'nin yönteminin Dirichlet tipi sınır koşullarını hesaba katmasına veya Lagrange çarpanlarını kullanmadan sürtünme sınır koşullarıyla zayıf bir şekilde temas etmesine izin verdiğinden çok çekici bir yöntem olduğunu biliyorum. Ve bir Dirichlet sınır koşulunu, Neumann sınır koşuluna benzer şekilde zayıf terimlere dönüştürmek avantajı, uygulamanın modele bağlı olması gerçeğiyle ödenir.

Ancak, benim için çok genel gibi görünüyor. Bana bu yöntem hakkında daha spesifik bir fikir verebilir misiniz? Basit bir örnek takdir edilecektir.

Nitsche'nin yöntemi süreksiz Galerkin yöntemleriyle ilgilidir (gerçekten de Wolfgang'ın işaret ettiği gibi, bu yöntemlerin öncüsüdür) ve benzer bir şekilde türetilebilir. En basit problemi, Poisson denklemini ele alalım: Şimdi varyasyonel bir formülasyon arıyoruz.

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$

1. (zayıf) çözeltisinden (yani tutarlı),$u\in H^1(\Omega)$
2. ve v'de simetriktir ,$u$$v$
3. benzersiz bir çözümü kabul eder (bu, bilinear formun zorlayıcı olduğu anlamına gelir).

Her zamanki gibi diferansiyel denklemin güçlü formunu alarak, test fonksiyonuyla çarparak ve parçalarla entegre ederek başlarız. Sağ taraftan başlayarak, ( f , v ) = ( - Δ u , v ) elde ederiz. $v\in H^1(\Omega)$ burada son denklemde üretken sıfırı0=u-gsınırınaekledik. Ayrı bir doğrusal ve çift doğrusal formları için şartlar yeniden düzenleme hemen çözüm yerine bir simetrik iki doğrusal form için bir varyasyon denklemi veriru∈H1(Ω)arasında(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

Eğer aşağıdan bağlı olamaz çünkü için iki-doğrusal bir şekilde, ancak, zorunlu değildir ile c ‖ v ‖ 2 H 1 (dğerlerini için bütün sınır koşullarım yok gibi v ∈ H 1 ( Ω ) , biz kullanımı olmaz Poincaré'nin her zamanki gibi eşitsizliği - bu, L 2'yi bilinear formunu değiştirmeden keyfi olarak büyük hale getirebileceğimiz anlamına gelir ). Bu yüzden, gerçek çözüm için kaybolan başka bir (simetrik) terim eklememiz gerekir: η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$ bazıları için η > 0 yeterince büyük. (Simetrik, tutarlı, zorlayıcı) zayıf formülasyona Bu yol açar: Bul u ∈ H 1 ( Ω ) bu şekilde ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ v ^ u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Bu, Nitsche'nin süreksiz Galerkin yöntemlerinden önce gelen ve eşdeğer bir minimizasyon probleminden başlayan orijinal türevi değildir. Aslında, orijinal makalesinde karşılık gelen bilinear formdan hiç bahsedilmiyor, ancak bunu bulabilirsiniz, örneğin, Freund ve Stenberg, İkinci mertebeden problemler için zayıf şekilde uygulanan sınır koşulları hakkında , Akışkanlarda Dokuzuncu Uluslararası Konf. Sonlu Elemanlar, Venedik 1995. M. Morandi Cecchi ve diğerleri, Eds. S. 327-336 .)