Isı denklemi için periyodik sınır koşulu] 0,1 [

13

Düzgün bir başlangıç koşulu ve ısı denklemini bir boyutta ele : açık aralıkta ve bunu sonlu farklarla sayısal olarak çözmek istediğimizi varsayalım.

\partial_{t} u = \partial_{x x} u

$\partial_t u = \partial_{xx} u$

] 0, 1 [

$]0,1[$

Sorunumun iyi pozlanması için bunu ve sınır koşulları ile donatmam gerektiğini biliyorum . Dirichlet veya Neumann'ın iyi çalıştığını biliyorum. $x=0$ $x=1$

İlk durumda iç noktası , için , o zaman : için , çünkü sınırlarda reçete edilir. $N$ $x_k=\frac{k}{N+1}$ $k=1,\cdots,N$ $N$ $u_k=u(x_k)$ $k=1,\cdots,N$ $u$

İkinci durumda gerçekten var bilinmeyenler , ve iki birleşim, örneğin, sınırda Laplacian kesikli hale (homojen) Neumann BC kullanımı nasıl kurgusal noktalar ve ve eşitlikler: $N+2$ $u_0,\cdots,u_{N+1}$ $x_{-1}$ $x_{N+2}$

\frac{u_{1} - u_{- 1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N + 2} - u_{N}}{2 h}

$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$

Benim sorum periyodik M.Ö. Bir denklem kullanabileceğimi hissediyorum, yani ama belki iki, ve sonra

u (0) = u (1)

$u(0) = u(1)$

\partial_{x} u (0) = \partial_{x} u (1)

$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$

ama emin değilim. Kaç tane bilmediğimi de bilmiyorum. Öyle mi ? $N+1$

pde boundary-conditions parabolic-pde

— bela83
kaynak

Dirichlet veya Neumann sınır koşullarınız var mı? Hayalet hücre sayısı, Neumann sınır koşulları için yaklaşıklık sırasına bağlıdır.

— ilciavo

@ilciavo, soru periyodik sınır koşulları hakkında.

— Bill Barth

8

Bunu yapmanın en iyi yolu (dediğin gibi) sadece periyodik sınır koşullarının tanımını kullanmak ve gerçeğini kullanarak en baştan denklemlerinizi doğru şekilde . Aslında, daha da önemlisi, periyodik sınır koşulları ile tanımlar . Bu nedenle çözüm alanınızda bu noktalardan yalnızca birine sahip olmalısınız. Periyodik sınır koşulları kullanılırken açık bir aralık anlamlı değildir, çünkü sınır yoktur . $u(0)=u(1)$ $x=0$ $x=1$

Bu gerçek, bir nokta koymamanız gerektiği anlamına gelir, çünkü aynıdır . İle kesikli sayı, daha sonra aslında kullanımı , tanımı gereği, solunda noktalı olan ve sağında noktası olan . $x=1$ $x=0$ $N+1$ $x_0$ $x_N$ $x_N$ $x_0$

periyodik bir ızgara şeması

PDE'niz daha sonra uzayda

\frac{\partial}{\partial t} [\begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ ⋮ \\ x_{N} \end{matrix}] = \frac{1}{Δ x^{2}} [\begin{matrix} x_{N} - 2 x_{0} + x_{1} \\ x_{0} - 2 x_{1} + x_{2} \\ ⋮ \\ x_{N - 1} - 2 x_{N} + x_{0} \end{matrix}]

$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$

Bu matris şeklinde yazılabilir

\frac{\partial}{\partial t} \vec{x} = \frac{1}{Δ x^{2}} A \vec{x}

$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$

A = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}] .

$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$

Tabii ki bu matrisi gerçekten oluşturmaya veya depolamaya gerek yok. Sonlu farklar, gerektiğinde ilk ve son noktaları özel olarak ele almaya özen gösterilerek anında hesaplanmalıdır.

Basit bir örnek olarak, aşağıdaki MATLAB betiği alanında periyodik sınır koşulları ile çözer . Üretilen çözüm

\partial_{t} u = \partial_{x x} u + b (t, x)

$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$

x \in [- 1, 1)

$x\in[-1,1)$

u_{Ref} (t, x) = \exp (- t) \cos (5 π x)

$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$

b (t, x) = (25 π^{2} - 1) \exp (- t) \cos (5 π x)

$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

Başlangıç durumunun grafiği

Çözelti t = 0.5'de arsa

Çözelti t = 1.0'da

Çözelti t = 2.0'da

— Doug Lipinski
kaynak

1

Harika ve basit bir çözüm !! Birisi burada ihtiyacı varsa Python

— ilciavo

Harika ! Örneğin kendim için yarı ayrıklaştırma kullandığım için yöntem hakkında çok spesifik olmak istemedim. Ancak denklem için, -derivative üzerinde bir koşul belirtmeye gerek olmadığını doğrularsınız? Daha doğrusu, böyle bir durum kötü bir soruna yol açar mı?

x

$x$

— bela83

@ bela83 Başlangıç koşulundan başka bir şey belirtmenize gerek olmadığı doğrudur. Aksi takdirde aşırı kararlı bir sistem ortaya çıkacaktır. Yapmanız gereken tek şey, aralıkları düzenli aralıklarla düzgün bir şekilde sardığınızdan emin olmak için aralığın uç noktalarına yakın biraz dikkatli olmaktır. Bunu yapmanın birçok geçerli yolu vardır.

— Doug Lipinski

-1

Göre bu sen gibi periyodik sınır koşulları empoze olmalıdır:

u (0, t) = u (1, t) u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$

Isı Denklemini geriye doğru Euler kullanarak örtükleştirmenin bir yolu

\frac{u^{n + 1} - u_{n}}{Δ t} = \frac{u_{i + 1}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n + 1} + u_{i + 1}^{n + 1}}{Δ x^{2}}

$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$

Denklem sisteminin çözümü

[\begin{matrix} I - \frac{Δ t}{Δ x^{2}} A \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1}^{n + 1} \\ u_{1}^{n + 1} \\ ⋮ \\ u_{N}^{n + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1}^{n} \\ u_{2}^{n} \\ ⋮ \\ u_{N}^{n} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

Nerede

A = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}]

$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$

Periyodik sınır koşullarınız, iki denklem ve iki ek (hayalet) hücre daha eklenerek dahil edilebilir: ve ; $u_{0}$ $u_{N+1}$

u_{1} - u_{N} = 0 \frac{u_{2} - u_{0}}{2 Δ x} - \frac{u_{N + 1} - u_{N - 1}}{2 Δ x} = 0

$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$

Bölüm 2.11 LeVeque'ye göre, bu size u_x için 2. bir sipariş doğruluğu $u_x$

Son olarak denklem sisteminiz şöyle görünecektir:

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & I - \frac{Δ t}{Δ x^{2}} A & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{0}^{n + 1} \\ u_{1}^{n + 1} \\ u_{2}^{n + 1} \\ u_{N}^{n + 1} \\ u_{N + 1}^{n + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1}^{n} \\ u_{2}^{n} \\ u_{N}^{n} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

Bu size N + 2 denklemleri ve N + 2 bilinmeyenleri verir.

Ayrıca denklemlerden ve hayalet hücrelerden ilkinden kurtulabilir ve N denklemleri ve N bilinmeyenleri sistemine erişebilirsiniz.

— ilciavo
kaynak

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_N$

u_{N}

$u_N$

] 0, 1 [

$]0,1[$

x_{k} = \frac{k}{N + 1}

$x_k=\frac{k}{N+1}$

x_{N} = \frac{N}{N + 1}

$x_N=\frac{N}{N+1}$

N

$N$

u_{0}

$u_0$

u_{N - 1}

$u_{N-1}$

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_{N}$

u_{1}

$u_1$

u_{N}

$u_N$

u_{0}

$u_0$

u_{N + 1}

$u_{N+1}$

u_{0} = u_{N + 1}

$u_0=u_{N+1}$

N + 1

$N+1$

u_{x}

$u_x$

u (0, t) = u (1, t)

$u(0,t)=u(1,t)$

u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$u_x(0,t)=u_x(1,t)$

1

u1 =

— uN