Sıfır-alanı üzerinden çıkıntı yapan

sistemi verildiğinde burada , Jacobi yinelemesinin bir çözücü olarak kullanılması durumunda, sıfırdan farklıysa yöntemin birleşmeyeceğini okudum sıfır uzayındaki bileşen . Peki, sıfır boşluğunu kapsayan sıfır olmayan bir bileşeni olması koşuluyla , Jacobi yönteminin yakınsak olmadığı resmi olarak nasıl ifade edilebilir ? Bunun matematiksel olarak nasıl resmileştirilebileceğini merak ediyorum, çünkü çözümün boş alana dik bir kısmı birleşiyor.

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

Bu nedenle, her yinelemeden sıfır uzayını yansıtarak birleşir (veya?). $A$

.........

Özellikle halinde ilgilenmekteyim.Lütfen burada bir vektör tarafından yayılmış boş alanı olan bir simetrik Laplace matristir ve , bir sahiptir sıfır bileşen olarak nin boş alanı , burada

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

merkezleme matrisidir. Bu, her Jacobi yinelemesinin

nin sıfır boşluğununyansıtılacağını, yani her yinelemeninortalanacağınıima ediyormu? Ben sıfır-uzay dışarı yansıtmak gerek yoktur olacağını o zamandan beri bu soruyorum

(için, diğer bir deyişle, ya Jacobi dolaşır gelenortalamakyineler).

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$

— usero
kaynak

Bu soru sizin için de geçerli olabilir: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo

Teşekkürler. Aslında buradaki yorumlarımdan bir alıntı yaptım, çünkü soru kendi başına ilgiyi hak ediyor. Ancak, yukarıda değinilmemiştir (en azından resmileştirilmemiştir).

— usero

Ah, bana utanç, bunun kendi sorunuz olduğunu kontrol etmedim.

— shuhalo

@JedBrown scicomp.stackexchange.com/questions/1505/… üzerindeki cevabınız bu soruya ilham verdi. Bence bağımsız düşünmeyi hak ediyor. Sanırım yukarıdaki soruları değerlendirebileceksiniz.

— usero

Solvability için doğru koşul sıfır boşlukla ilgisi yoktur (olmadıkça simetriktir) ancak sıfır alan . Eğer , sonra ima , dolayısıyla herhangi bir boş vektör ortogonal olmalıdır (aksi halde hiçbir çözüm, ve Jacobi iterasyonu bir neden vardır yakınsama). $A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

Ancak bu durumda, bir çözüm vardır ve kare durumda sonsuz sayıda vardır.

Tekil durumda, bu durumun tatmin edilip edilmediğini (ve yine de yuvarlaklaşma ile şımartılacağını) asla bilemediği için, problem genellikle en küçük kareler problemi olarak çözülür. Minimum norm çözümünü bulmak için, normal denklemlerde eşlenik gradyanlar kullanın; bu, çarpmayı ve kodlamanızı gerektirir . (Sadece ile çarpma rutini verildiğinde , bunun yerine GMRES kullanılabilir, tahmin edilebilir yakınsama özellikleri daha azdır.) $A$ $A^T$ $A$

— Arnold Neumaier
kaynak

Çok teşekkürler. Özellikle Jacobi yöntemiyle ilgilendiğimi unutmayın (teorik nedenler; aksi takdirde alternatifler hakkındaki önerinizi kabul ediyorum.) Yani: "Özellikle

sıfır uzayında sıfır bileşeninin bulunduğu durumla ilgileniyorum . her Jacobi yinelerler sıfır-alana sahip olacağını ima

dışarı yansıtılan? Ben o zamandan beri bu soruyorum sıfır-uzay dışarı yansıtmak gerek olmazdı

Jacobi dolaşır (bu kadar b null- sahip olduğunda

uzayı yansıtılır). "

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— usero

@usero: Dediğim gibi

sıfır boşluğunun sorun üzerinde

etkisi yok. Yoksa matrisiniz simetrik mi? Ayrıca, Jacobi yöntem boş alanı ortogonalite korumaz

sürece

sabit çapını sahiptir.

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

— Arnold Neumaier

Soruyu düzenledim. Matris

simetriktir (Laplacian). Peki, her Jacobi yinelemesi,

ortalandığında (yukarıda tanımlandığı gibi) ortalanacak mı? Yaptığım karışıklıktan dolayı özür dilerim.

A

$A$

b

$b$

— usero

@usero:

köşegenleri sabitse, evet. Köşegen girişleri 1. O olan wlog

ve Jacobi yineleme

ise

, sonra simetri ile,

, dolayısıyla

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ indüksiyonla sabittir, dolayısıyla sıfırdır. - Ama neden Jacobi yöntemini önemsiyorsun? Öyle çok yavaş!

— Arnold Neumaier

Ok, bu yüzden Jacobi dolaşır merkezli merkezlenmiş değildir

pozitif sabit olmayan çapını sahip olan, örneğin,

, bazı

. Jacobi'deki çıkarlarımın tamamen teorik olduğunu unutmayın. Uygulamaya gelince, kesinlikle önerilerinizi kabul ederdim. Teşekkür ederim.

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$

— usero