Von Neumann'ın kararlılık analizi bize doğrusal olmayan sonlu fark denklemleri hakkında ne söylüyor?

9

Aşağıdaki doğrusal olmayan denklemi çözdükleri bir makale okuyorum [1]

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$ sonlu farklar yöntemi kullanarak. Ayrıca, Von Neumann'ın kararlılık analizini kullanarak şemaların kararlılığını analiz ederler. Bununla birlikte, yazarların farkına göre, bu sadece doğrusal PDE'ler için geçerlidir. Böylece yazarlar, doğrusal olmayan terimi "dondurarak" bunun etrafında çalışırlar, yani

u u_{x}

$uu_x$ ile terim

U u_{x}

$Uu_x$ , nerede

U

$U$ yerel olarak sabit değerlerini temsil ettiği kabul edilir.

u

$u$ ."

Benim sorum iki yönlü:

1: Bu yöntem nasıl yorumlanır ve neden işe yaramıyor?

2: biz de değiştirmek olabilir $uu_x$ ile terim $uU_x$ terim, nerede $U_x$ yerel olarak sabit değerlerini temsil ettiği kabul edilir. $u_x$ "?

Referanslar

Eilbeck, JC ve GR McGuire. "Düzenli uzun dalga denklemi I'nin sayısal çalışması: sayısal yöntemler." Hesaplamalı Fizik Dergisi 19.1 (1975): 43-57.

— avcı
kaynak

1

Denklemi yanlış yazdın. Kağıttaki denklem RLW denklemidir.

— Ömer

3

İlgili sorular, tam cevap vermeden: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . Bence sezgisel olarak, işe yaramalı çünkü çok yüksek frekanslı modların (hataların oluştuğu, kafes aralığı sırasına göre dalga boyu) kararlılığıyla ilgileniyorsanız, bunun yerine çözümün kendisi çok daha düşük frekansla değişecektir, bu nedenle katsayıları dondurmak ve donmuş katsayılar PDE'nin stabilitesini incelemek uygundur.

— Kirill

2

Kirill ile ilgili bazı sorulara cevap verdim. Ne yazık ki, RLW denklemi için herhangi bir sonucun farkında değilim, ancak çözüm yeterince pürüzsüz olduğu sürece muhtemelen kararlılık kanıtlanabilir.

— David Ketcheson

1

Söylediğiniz şey doğrusallaştırma olarak adlandırılır. Lineer olmayan PDE'lerin analizinde kullanılan yaygın bir tekniktir. Yapılan denklemleri formatta dökmek,

$u_t+Au=0$

Burada A, denklemin doğrusallaştırılmasından kaynaklanan bir matristir.

Şimdi sorularınıza,

Düşündüğünüz gibi, bir dereceye kadar çalışır, ancak bir dereceye kadar yoktur. Faydası, kararlılığın doğrusal sistemler için kanıtlanabildiği, ancak doğrusal olmayan sistemler için kolayca kanıtlanamayacağıdır. Böylece doğrusal sonuçlar doğrusal olmayan sistemlere genişletilir. Genellikle, belirli durumlar için farklı yöntemler benimsenir. Örneğin,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

bu koruma biçimidir. Yani,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

sınırlı bir hacim anlamında temsil edildiğinde, u'nun evrimi üzerinde sınırlar verir.

Değiştirme yapmanın faydası nedir. Denklemi bir dalga denklemi formundan kaldıracaksınız. Bu, çözümlerin bir dalga denklemi gibi davranmayacağı anlamına gelir. Dolayısıyla, kararlılık analizinde test çözümlerinin de tamamen farklı ve fiziksel olmayan olması gerekir.

— Vikram
kaynak

2

Doğrusallaştırma bağımsız değişkenini ayrıntılı olarak açıklamak için, uu_x'te u'nun iki nedenden ötürü u_x değil, yerel olarak sabit olduğunu varsaymak istersiniz: a) u, türevinden daha yavaş değişir ve b) bu durumda u_x'in yerel olarak sabit olduğunu varsayarsanız , tanım olarak u'nun yerel olarak doğrusal olduğunu varsayarsınız, bu da daha yüksek uzay türevlerinin sıfır olduğu anlamına gelir ve bu sadece ek yaklaşım hatası vermekle kalmaz, aynı zamanda denkleminize bağlı olarak bebeği banyo suyuyla dışarı atmanız anlamına gelebilir.

— Domingo Tavella
kaynak