CFD simülasyonları için ortak ayrıklaştırma planlarının dezavantajları

Geçen gün, hesaplamalı akışkanlar dinamiği eğitmenim yoktu ve doktora adayını onun yerine koymaya gönderdi. Verdiği derste, akışkan akış simülasyonları için çeşitli ayrıklaştırma şemalarıyla ilişkili çeşitli dezavantajları belirtiyor gibi görünüyordu:

Sonlu Farklar Yöntemi: Korumayı tatmin etmek ve düzensiz geometrilere başvurmak zordur

Sonlu Hacim Yöntemi: Kenarlara ve tek boyutlu fiziğe yönelme eğilimindedir.

Sonlu Elemanlar Yöntemi: Hiperbolik denklemleri FEM kullanarak çözmek zordur.

Süreksiz Galerkin: Tüm dünyaların en iyisi (ve en kötüsü).

Dalgalanma Bölme: Henüz yaygın olarak uygulanmazlar.

Dersten sonra ona bu bilgiyi nereden aldığını sormaya çalıştım ama kaynak belirtmedi. Ayrıca, DG'nin "tüm dünyaların en iyisi ve en kötüsü" olmasıyla ne demek istediğini açıklığa kavuşturmaya çalıştım, ancak net bir cevap alamadım. Bu sonuçlara ancak kendi deneyiminden geldiğini varsayabilirim.

Kendi deneyimlerime dayanarak, FDM'nin düzensiz geometrilere uygulanması zor olduğu ilk iddiasını doğrulayabilirim. Diğer tüm iddialar için bunları doğrulamak için yeterli deneyimim yok. Bu iddia edilen 'dezavantajların' genel olarak CFD simülasyonları için ne kadar doğru olduğunu merak ediyorum.

Önerilen özellikler kabaca popüler görüşü temsil ettikleri anlamında makul. Bu sorunun büyük bir kapsamı var, bu yüzden şimdi birkaç gözlem yapacağım. Yorumlara yanıt olarak ayrıntı verebilirim. Daha ayrıntılı ilgili tartışma için, bkz. Sonlu farklar ve sonlu elemanlar arasında seçim yapmak için kriterler nelerdir?

• Yapılandırılmamış ızgaralar için düşük dereceli muhafazakar sonlu fark yöntemleri mevcuttur. Yüksek mertebeden salınımlı olmayan FD yöntemleri başka bir konudur. Sonlu Fark WENO şemalarında, fizik tüm Riemann çözücüleri için mevcut olmayan bir akı bölünmesinde ortaya çıkar.

• Sonlu hacimli yöntemler birden fazla boyutta iyi çalışır, ancak genel akış yapıları için ikinci dereceden daha yüksek bir düzeye geçmek için, ekstra yüz kareleme noktalarına ve / veya enine Riemann çözmelerine ihtiyacınız vardır, bu da FD yöntemlerine göre maliyeti büyük ölçüde artırır. Bununla birlikte, bu FV yöntemleri düzgün olmayan ve yapılandırılmamış ağlara uygulanabilir ve keyfi Riemann çözücüleri kullanabilir.

• CFD için sürekli sonlu eleman yöntemleri kullanılabilir, ancak stabilizasyon hassas hale gelir. Genellikle salınımlı olmayan yöntemlere sahip olmak pratik değildir ve stabilizasyon genellikle entropi gibi ek bilgilere ihtiyaç duyar. Tutarlı kütle matrisi kullanıldığında, açık zaman adımı çok daha pahalı hale gelir. Sürekli Galerkin yöntemleri yerel olarak muhafazakar değildir, bu da güçlü şoklar için sorunlara neden olur. Ayrıca bkz. PDE'leri çözerken yerel koruma neden önemlidir?

• Süreksiz Galerkin yöntemleri elemanları bağlamak için herhangi bir Riemann çözücüyü kullanabilir. Doğrusal olmayan kararlılık özelliklerine diğer yaygın yöntemlerden daha iyi sahiptirler. DG'nin uygulanması oldukça karmaşıktır ve genellikle bir elementin içinde monoton değildir. DG için pozitifliği veya maksimum prensibi sağlayan sınırlayıcılar vardır.

• Spektral Fark gibi (örneğin, Wang ve ark 2007 veya Liang ve ark 2009 ), daha geometrik esneklik ve yüksek düzen doğruluğu sağlarken, çok verimli olma potansiyeli olan (Sonlu Fark gibi) başka yöntemler de vardır .

Yüksek Reynolds sayısı akışları, verimli bir şekilde çözmek için yüksek anizotropik elemanlar gerektiren ince sınır katmanlarına sahiptir. Sıkıştırılamaz veya neredeyse sıkıştırılamaz öğeler için bu, birçok takdir yetkisinde önemli sorunlara neden olur. Çoğunlukla sonlu elemanlar yöntemleri açısından ek tartışmalar için bakınız mekansal bölümlemeleri anizotropik sınır kafesleri ile sıkıştırılamaz akış için çalışmak ne olacak?

Sabit problemler için, doğrusal olmayan multigrid (FAS) etkin bir şekilde kullanılabilmesi caziptir. FD, FV ve DG yöntemleri genellikle FAS'ı verimli bir şekilde kullanabilir, çünkü kabaca konuşmak gerekirse,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

$h$

Kısaca DG için:

Eleman sınırları boyunca süreklilik gerekliliklerinin rahatlatılmasının bir sonucu, DG-FEM'deki değişken sayısının, aynı sayıda eleman için sürekli muadilden daha fazla olmasıdır.

Öte yandan, yerel formülasyon nedeniyle (elementler açısından) aşağıdaki avantajlara sahibiz:

• Durağan olmayan ve kaynak terimler öğeler arasında tamamen ayrılır. Kütle matrisleri eleman düzeyinde ters çevrilebilir.
• Daha kolay paralelleştirme.
• Uyarlanabilir ayrıntılandırmalar (h-, p- ve hp) kolaylaştırılmıştır - global düğüm yeniden numaralandırmasına gerek yoktur.