Neumann sınır koşulları ile Poisson denklemi sonlu farklar matrisinin yazılması

Sonlu farklar yaklaşımını kullanarak Poisson denklemini çözmekle ilgileniyorum. Neumann sınır koşulları ile matris denkleminin nasıl yazılacağını daha iyi anlamak istiyorum. Birisi aşağıdakileri inceler mi, doğru mu?

Sonlu farklar matrisi

Poisson denklemi,

\frac{\partial^{2} u (x)}{\partial x^{2}} = d (x)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

sonlu farklar matris denklemi ile yaklaştırılabilir,

\frac{1}{(Δ x)^{2}} M ∙ \hat{u} = \hat{d}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

burada , bir olduğu matris ve ve olarak (sütun) vektörler, $\textbf{M}$ $n \times n$ $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

Poisson denkleminin sonlu farklar matrisi

Neumann sınır koşulu ekleme

Bir Neumann sınır koşulu, sınırda bir bilgi akışını zorlar (burada, sınırın olduğu sol tarafa uygularız ), $x=0$

bu sınır koşulunu ortalanmış bir sonlu fark olarak yazıyor,

\frac{\partial u (x = 0)}{\partial x} = σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$

Denklemde hata. NB. Başlangıçta burada bir hata yaptım, işaret hatası ve 2'ye bölmedim. Aşağıdakiler düzeltildi.

\frac{u_{2} - u_{0}}{2 Δ x} = σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

Orijinal etki alanının dışında bir kafes noktasının girildiğine dikkat edin ( ). Bu terim, ikinci denklem tanıtarak ortadan kaldırılabilir $u_0$

\frac{u_{0} - 2 u_{1} + u_{2}}{(Δ x)^{2}} = d_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

Denklem, yeni mesh noktasının getirilmesi nedeniyle daha fazla bilgiye sahip olmaktan kaynaklanır. Bu bize çifte türevini yazmasına olanak tanır bakımından sınırı olarak sonlu-fark merkezli kullanarak. $u_1$ $u_0$

Emin olmadığım kısım

Bu iki denklemin birleştirilmesiyle ortadan kaldırılabilir. Çalışmayı göstermek için önce bilinmeyeni yeniden düzenleyelim, $u_0$

u_{0} = - 2 σ Δ x + u_{2} u_{0} = (Δ x)^{2} d_{1} + 2 u_{1} - u_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

Sonra eşit olarak ayarlanır ve forma yeniden düzenlenir,

\frac{u_{2} - u_{1}}{(Δ x)^{2}} = \frac{d_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ x}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

Bu formu seçtim çünkü yukarıdaki matris denklemiyle aynı formda. Bildirim o terimleri bölün vardır $u$ $(\Delta x)^2$

Son olarak, bu denklemi matrisin ilk satırı olarak kullanarak,

Sol tarafta Neumann sınır koşulu olan Poisson denklemi (düzeltildi)

Bazı son düşünceler,

Bu son matris doğru mu?
Daha iyi bir yaklaşım kullanabilir miyim?
Orada bir Bu matrisi yazmanın standart bir yolu ?

— boyfarrell
kaynak

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

Bu LeVeque'in sonlu farklar metni , bölüm 2'de gayet güzel bir şekilde çalıştı .

— David Ketcheson

Bu konular bilimsel

— tr / tr / 13/13/13/13/01

bu scicomp.stackexchange.com/questions/14306/…

— usumdelphini

Yanıtlar:

Bence doğru yoldasınız. Hatalarınızı düzeltirseniz, http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf dosyasına çok benzeyecektir .

— vanCompute
kaynak

Yorumlarınız ve düzeltmeleriniz için teşekkür ederiz. Sorumu düzeltmelerle güncelledim. Şimdi doğru olduğuna inanıyorum.

— boyfarrell

görmek için büyük gözlem $u_0$ ortadan kaldırılabileceğini .

Geri çekilin ve sorunu bir saniyeliğine düşünün. Bir Laplace denkleminin belirtilmesi temel olarak her noktanın komşularının ortalaması olduğunu belirtir. Bu genellikle lastik bir tabaka olarak görselleştirilir ve bunları düşünmeme yardımcı olur. (Poisson, daha fazla veya daha az esnek nokta ile benzerdir)

En dış kenarlarda çözelti yüzeyinin değerini belirlediğinizde, sayfayı bu noktalarda boşlukta "sabitlersiniz". Sayfayı kenarlarındaki türevi ile belirttiğinizde, aynı gerçek şekli ve dolayısıyla türevleri korurken, uzayda sayfayı çeviren denklemi yerine getiren herhangi bir sayıda çözüm vardır.

Ancak pratik anlamda bu zahmetli olabilir. Matrisler koşulsuzdur ve çözücüler beklenmedik şekilde hareket eder. Yaptığım en yaygın şey belirterek çözümü sabit bir noktaya "sabitlemek" $u_0 = 0$ veya çözelti alanı ile ilgili bir sabit .

— meawoppl
kaynak

Yani genellikle Poisson denklemi en az bir Dirichlet sınır koşulu ile çözülür, böylece benzersiz bir çözüm bulunabilir mi? Neumann'ın sınır koşullarının sadece kaynak ve lavabolar dahil edildiğinde mantıklı olduğunu düşünüyorum, aksi takdirde sonsuz sayıda çözüm var. Ancak bunun yerine difüzyon denklemini alırsam, bazen doğru fizik için Neumann sınır koşulları gerekir (örneğin du / dx = 0 olduğunda bir sınırdan miktar akısı olmaz). Bu gerçekten ilgilendiğim şey. Yukarıdaki yöntem Neumann BC'leri uygulamak için doğru yaklaşım mı?

— boyfarrell

Neumann BC'leri kağıdınızın her tarafına uygulayamazsınız. Bunu yaparsanız, benzersiz bir çözümünüz olmayacak. En az bir tarafa sabitlenmelidir.

— vanCompute

@meawoppl: Doğrudan matris çözerken sabit nokta nasıl belirlenir?

— jvriesem

Tipik olarak, sadece bir noktayı bir satırda 1, kalan sıfır değerini ve RHS'de görmek istediğiniz çözüm düzlemine karşılık gelen bir değeri ayarlayarak bir sabite bir nokta atamak.

— meawoppl