Eşit aralıklı noktalar neden kötü davranıyor?

24

Deneme açıklaması:

Lagrange enterpolasyonunda, tam denklem noktalarından (polinom sırası ) örneklenir ve 101 noktadan enterpolasyon yapılır. Burada 2 ile 64 arasında değişmektedir. Her seferinde , ve hata grafiği hazırlanır. İşlev eşit aralıklı noktalardan örneklendiğinde, hatanın başlangıçta düştüğü ( yaklaşık 15'ten az olduğu durumlarda gerçekleşir) ve daha sonra hatanın daha da artmasıyla devam ettiği görülmektedir . $N$ $N - 1$ $N$ $L_1$ $L_2$ $L_\infty$ $N$ $N$

İlk örnekleme Legendre-Gauss (LG) noktalarında (Legendre polinomlarının kökleri) veya Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) noktalarında (Lobatto polinomlarının kökleri) yapılırsa, hata makine seviyesine düşer ve arttığı daha da artar. $N$

Benim sorularım

Eşit aralıklı noktalar için tam olarak ne olur?

Polinom sırasındaki artış neden belirli bir noktadan sonra hatanın artmasına neden oluyor?

Bu, WENO / ENO rekonstrüksiyonu için eşit aralıklı noktalar kullanırsam (Lagrange polinomları kullanarak), sonra da pürüzsüz bölgede hatalar alacağım anlamına mı geliyor? (peki, bunlar sadece varsayımsal sorulardır (anlayışım için), WENO şeması için 15 ya da daha yüksek derecedeki polinomu yeniden inşa etmek gerçekten mantıklı değil)

Ek detaylar:

Yaklaşılan işlev:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ , $x \in [-1, 1]$

$x$ , bölünmüş (ve daha sonra LG) puanlara bölünmüştür . Fonksiyon her seferinde 101 noktada enterpolasyon yapar. $N$

Sonuçlar:

a) Eşit aralıklı noktalar ( için enterpolasyon ): $N = 65$

görüntü tanımını buraya girin

b) Eşit aralıklı noktalar (hata grafiği, günlük ölçeği):

görüntü tanımını buraya girin

a) LG noktaları ( için enterpolasyon ): $N = 65$
b) LG noktaları (hata grafiği, günlük ölçeği):

görüntü tanımını buraya girin

— Subodh
kaynak

26

Eşzamanlı noktalarla ilgili sorun enterpolasyon hatasının polinom, yani

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

farklı düğüm kümeleri için farklı davranır . Eşit noktalarda, bu polinom kenarlarda patlar. $x_i$

Gauss-Legendre noktalarını kullanırsanız, polinom hatası çok daha iyi davranır, yani kenarlarda patlamaz. Eğer Chebyshev düğümlerini kullanırsanız , bu polinom eşitleşir ve enterpolasyon hatası minimumdur.

— Pedro
kaynak

6

Pedro'nun enterpolasyon hatası polinomunun da güzel bir şekilde açıklandığı John P. Boyd Chebyshev ve Fourier Spectral Methods kitabında oldukça ayrıntılı bir açıklama var (Bölüm 4.2 Sayfa 85).

— Bort

Teşekkür ederim. Ayrıca yukarıda belirtilen seçimler için Lebesgue sabiti farklı davranır. Eşit aralıklı noktalar için Lebesgue sabiti üssel olarak artarken, LG, LGL, Chebyshev türlerinde artan n ile doygunluğa ulaşır. en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , ancak sayısal uygulamaya ilişkin soru hala devam ediyor ...

— Subodh

Üzgünüm, ENO / WENO hakkında pek bir şey bilmiyorum. Ancak düşük seviyeli enterpolasyonlar için pürüzsüz bölgede sorunlar beklemeyeceğim, her ne kadar dörtlü düğümler kesin nedenlerden dolayı kesinlikle daha iyi bir seçimdir.

— Mart'ta Bort

22

Bu gerçekten ilginç bir soru ve bir çok olası açıklama var. Bir polinom enterpolasyonu kullanmaya çalışıyorsak, polinomun şu can sıkıcı eşitsizliği sağladığına dikkat edin

$P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

her . Bu Bernstein'in eşitsizliği olarak bilinir , bu eşitsizlikte tekilliği not alın. Bu Markov eşitsizliği ile sınırlandırılabilir $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

ve bunun Chebysehv polinomlarının bunu bir denklem haline getirdiği anlamında keskin olduğunu unutmayın . Yani başka bir deyişle, aşağıdaki birleşik sınırımız var.

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

Bunun anlamı: Polinomların gradyanları, aralık sınırlarının küçük mahalleleri dışındaki her yerde sırayla doğrusal olarak büyür. Sınırlarda gibi daha fazla büyürler . İstikrarlı enterpolasyon düğümlerinin hepsinin sınırların yakınında kümelenmesi olması tesadüf değildir. Kümelenme, baz gradyanlarını kontrol etmek için gereklidir, oysa orta noktaya yakın bir pozisyon biraz daha rahat olabilir. $N^2$ $1/{N^2}$

Bununla birlikte, bunun mutlaka bir polinom olayı olmadığı ortaya çıktı, bu makaleyi öneriyorum:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

Gevşek bir şekilde şöyle diyor: Polinom temeli ile aynı yaklaşım gücüne sahipseniz, eşit aralıklı noktaları dengeli bir şekilde kullanamazsınız.

— Reid.Atcheson
kaynak

1

Sorun, eşit aralıklarla yerleştirilmiş noktalar değildir . Temel fonksiyonların küresel destek, sorun olan eşit aralıklı noktalarla birlikte. Eşit aralıklı noktalar kullanan mükemmel iyi şartlandırılmış bir enterpolant, Kress'in Sayısal Analizinde, kompakt desteğin kübik-b spline temelli fonksiyonlarını kullanarak açıklanmaktadır.

— user14717
kaynak

elbette, ancak enterpolantınız global olarak pürüzsüz olmayacaktır ( örneğin, yalnızca için)

C^{2}

$C^2$

— GoHokies

@GoHokies: Kompakt destekli spline, yinelemeli evrişim tarafından istenildiği kadar pürüzsüz hale getirilebilir. enterpolasyonunun kullanım durumu nedir ?

C^{\infty}

$C^{\infty}$

— user14717,

doğru tespit. ("pozisyon-hız-ivme") çoğu uygulama için yeterlidir. bazı sınır değer problemleri için isteyebilirsiniz , ancak bunun üzerinde herhangi bir ortak kullanım durumu düşünemezsiniz.

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

— GoHokies 19:18

1

Eşit aralıklı noktalar için tam olarak ne olur?

Polinom sırasındaki artış neden belirli bir noktadan sonra hatanın artmasına neden oluyor?

Bu, Eşit aralıklı düğümlerde, enterpolasyon hatasının polinom derecesinin, yani noktaların sayısının artmasıyla sonsuzluğa gittiği Runge fenomenine benzer .

Bu sorunun kökenlerinden biri, @ Subodh'un @Pedro'nun cevabına yaptığı yorumda belirtildiği gibi Lebesgue'in sabiti içinde bulunabilir . Bu sabit, enterpolasyonu en iyi yaklaşımla ilişkilendirir.

Bazı notlar

düğümleri üzerinde enterpolasyon yapmak için fonksiyonuna . Lagrange interpolasyonunda Lagrange polinomları tanımlanmıştır : $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

bu, ışık notasyonu için çiftlerin üzerindeki cinsinden enterpolasyon polinomu olarak tanımlanır. $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

Şimdi veriler üzerinde bir sapma düşünün, bu örneğin yuvarlama için olabilir, bu nedenle . Bununla yeni polinom : $\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

Hata tahminleri:

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

Şimdi Lebesgue'in sabitini olarak tanımlamak mümkündür : $\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

Bununla nihai tahminler şöyledir:

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

(marjinal not, biz sadece normuna bakarız, çünkü sonlu bir ölçü alanının üzerindeyiz, bu yüzden ) $\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

Yukarıdaki hesaplamadan şunu aldık : : $\Lambda_n$

tarihinden bağımsız:
sadece düğüm dağılımına bağlıdır;
bir istikrar göstergesi (ne kadar küçükse o kadar iyidir).

Aynı zamanda enterpolasyon operatörünün saygı normal norm. $|| \cdot||_\infty$

İzleyen teoremle, Lebesgue'in sabiti ile enterpolasyon hatasının bir tahminine sahibiz:

Let ve Elimizdeki yukarıdaki gibi burada en iyi düzgün yaklaşım polinomundaki hatadır $f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

Yani, eğer küçükse enterpolasyonun hatası, en iyi düzgün yaklaşımın hatasından uzak değildir ve teorem, enterpolasyon hatasını mümkün olan en küçük düzgün hatayla en küçük hatayla karşılaştırır. $\Lambda_n$

Bunun için enterpolasyonun davranışı düğüm dağılımına bağlıdır. Bir alt sınır yoktur bir köprü dağıtım verilen sabit var olduğunu gibi ifade edilmektedir: sabiti büyür, böylece, ama nasıl büyümek importan. $\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

İçin eşit aralıklı düğümleri bazı ayrıntıları ihmal, ancak yetiştirme üstel olduğunu görüyoruz.

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

İçin Chebyshev düğümleri burada da bazı ayrıntıları ihmal, daha doğru ve komplike tahmin vardır. Daha fazla ayrıntı için [1] 'e bakınız. Chebyshev ailesinin düğümlerinin logaritmik olarak büyüdüğünü ve önceki tahminlerden elde edebileceğinizlerin yakınında olduğuna dikkat edin.

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

Diğer düğüm dağılımları için bu makalenin 1. örneğine bakınız .

İnterpolasyon hakkında kitapta çok fazla referans var. Çevrimiçi olarak bu slaytlar özgeçmiş kadar güzel.

Ayrıca bu açık makale ([1])

Sayısal Yedi Izgaralar İnterpolasyonu Çeşitli karşılaştırmalar için Aralık'ta polinomun karşılaştırılması.

— Mauro Vanzetto
kaynak

1

It en iyi farkında olmak Floater-Hormann interpolants ne zaman sahip (veya istediğiniz) eşit mesafeli noktaları ile çalışmalarını . $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

Tam sayı verilen ile , izin polinom interpolant olmak . Daha sonra bir işlev FH interpolant en formu vardır $d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

"karıştırma işlevleri" ile

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

Bu enterpolantların bazı özellikleri:

gerçek kutupları olmayan barycentric rasyonel enterpolantlardır ;
noktaların dağılımına bakılmaksızın, için keyfi yaklaşım siparişleri elde et ; ${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
bunlar karışımı olduğu (yerel) polinom interpolants içinde, yivler ile bir şekilde benzerdir ile harmanlama fonksiyonlar ile ilgilidir; $p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
en fazla dereceli polinomları üretirler (veya tek ise ); $d$ $d+1$ $n-d$
Barycentric şeklinde yazılabilir (bkz. Floater ve Hormann'ın makalesi 4. bölümü).

Uyarıcı emptor : Beklendiği gibi (@ Reid.Atcheson tarafından referans verilen makaleye bakınız), artması yaklaşma sürecinin koşullandırmasını hızla düşürür. $d$

Bu sorunu hafifletmek için Klein tarafından yapılan son zamanlarda bazı çalışmalar var. O ekleyerek orijinal Şamandıra-Hormann yaklaşımı modifiye yeni orijinal enterpolasyon aralığın dışında noktalarına tekabül eden veri değerleri düzgün bir uzantısı yapılmış dış sadece belirli bir veri kullanılarak . Bu "global" veri seti daha sonra yeni bir FH rasyonel fonksiyonu olan ile enterpolasyona tabi ve sadece içinde değerlendirilir . $2 d$ $[a,b]$ $f$ $[a,b]$ $f_0, \ldots f_n$ $r_{n+2d}$ $[a,b]$

Bilgilerini güzel gösterilmektedir (aşağıda bağlantısı) Klein kağıt, ortaya koyulur uzatılmış rasyonel interpolants büyümesi Lebesgue sabitleri logaritmik ile ve (orijinal FH tasarımının için, büyüme bahsedilen ise üslü olarak , Bos bakınız ve ark. ). $n$ $d$ $d$

Chebfun kütüphanesi, buradachebfuns açıklandığı gibi, eşleştirilmiş verilerden elde edilirken FH enterpolantlarını kullanır .

Referanslar:

MS Floater ve K. Hormann, Kutupsuz rasyonel enterpolasyon ve kutup oranı yüksek ve yaklaşım oranları yüksek, Numerische Mathematik 107 (2007).

G. Klein, Kayan - Hormann Barikentrik Rasyonel İnterpolant Ailesinin Genişlemesi , Hesaplama Matematiği , 82 (2011) - preprint

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann ve G. Klein, Eşitsiz düğümlerde baryentrik rasyonel enterpolasyonun Lebesgue sabiti üzerine, Numer. Matematik. 121 (2012)

— GoHokies
kaynak