Blok yapısız belirsiz sistemler için yinelemeli yöntemler

9

Belirsiz matris sistemleri, örneğin eyer noktası problemlerinin karışık sonlu elemanlar tarafından ayrıklaştırılmasında ortaya çıkar. Sistem matrisi daha sonra forma konabilir

(\begin{matrix} A & B^{t} \\ B & C \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$

nerede $A$ negatif (yarı) -definit, $C$ pozitif (yarı) kesin ve $B$ keyfi. Elbette, konvansiyona bağlı olarak doğruluk koşullarını kullanabilirsiniz, ancak bu hemen hemen bu matrislerin yapısıdır.

Bu yöntemler için, aslında sistemi Konjugat Gradyan, Gradyan İniş ve benzerleri ile çözülebilen eşdeğer yarı tanımlı bir sisteme dönüştürmek için sadece bir "numara" olan Uzawa'nın yöntemi kullanılabilir.

Böyle bir blok yapısına sahip olmayan belirsiz bir sistemle karşılaşıyorum. Bu durumda Uzawa tipi yöntemler uygulanmaz. Sadece üç dönemli bir özyineleme olan ve uygulanması kolay görünen Paige & Saunders tarafından sunulan Minimal Artık yönteminin (MINRES) farkındayım.

Soru: MINRES, prototipleme için genellikle iyi bir seçim midir? Pratik bir ilgisi var mı? Ön koşullandırma şu anda merkezi bir sorun değildir.

linear-algebra iterative-method

— shuhalo
kaynak

Matrislerinizi neyin özel kıldığı hakkında biraz daha bilgi verebilir misiniz? Örneğin ne tür bir sorun ortaya çıkıyor? Bunun başka bir yapısı var mı? Vb - Vb

— Bill Barth

En genel cevabı almak için kasıtlı olarak boş bıraktım (açıkçası, bu dolaylı olarak tatmin edici bir genel cevap olduğunu varsayar). Ancak aşağıdaki Helmholtz denklemine sahip örnek aklımda olan şeydi.

— shuhalo

7

Ön koşullandırma konusunda endişeleriniz yoksa, standart seçim MINRES'dir. Bununla birlikte, MINRES'in simetrik bir pozitif kesin önkoşul gerektirdiğini unutmayın.

Ön koşullandırma ile ilgileniyorsanız, çoğu eyer noktası problemleri ile genel belirsiz problemler arasındaki yapısal farklılıkları dikkate almak önemlidir. Eyer noktası sorunlarının çoğu, Lagrange çarpanları tarafından uygulanan kısıtlamalarla eliptik sorunları çözerken ortaya çıkar. Sıkıştırılamazlık ve temas kısıtlamaları yaygın örneklerdir. Bu tür problemler için operatör, kısıtlamanın karşılandığı alt alanda, Green'in hızla bozulan fonksiyonları ile zorlanır. Bu tür problemler blok önkoşullayıcılar (önkoşullu Uzawa bu ailenin bir üyesidir), uyumlu düzleştiricilere sahip çoklu ızgara (örn. Vanka veya blok ayrışmasına dayalı) veya uygun yerel ve kaba problemlerle çok düzeyli alan ayrışması kullanılarak verimli bir şekilde çözülebilir.

Eyer noktası sorunu olmayan belirsiz bir problemin prototipik örneği Helmholtz denklemidir.

- \nabla \cdot (a \nabla u) - k^{2} u = f

$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$

nerede $a(x)$ pozitif sabitler ile yukarıda ve aşağıda eşit olarak sınırlanmıştır. İçin $k$ Büyük olarak, Green'in işlevleri son derece salınımlıdır ve bu da ön koşullandırmayı (ve ayrıklaştırmayı) zorlaştırır. İki makul yaklaşım, bu sorunun yanıtlarında açıklandığı gibi, mükemmel eşleşmiş katmanlara ve "dalga ışını multigridine" dayanan ön koşullandırıcılardır . Ne yazık ki, bu yöntemler belirli bir denklem için oldukça özeldir ve uygulanması tekniktir.

— Jed Kahve
kaynak

1

Adil olmak gerekirse, süpürme önkoşulları kesinlikle paralel olarak verimli bir şekilde uygulamak için teknik olsa da, fikir Helmholtz'a özgü değildir; ana gereklilik emici bir sınır koşuludur (örneğin, Mükemmel Eşleşen Katmanlar).

— Jack Poulson

3

İlgilenebilecek ilgili bir soru, seyrek bir doğrusal sistem çözücü seçerken hangi yönergeleri izlemeliyim? , bu durumda, yalnızca yinelemeli yöntemlerle ilgilenirsiniz. Yinelemeli yöntemleri anladım, herhangi bir yöntem için yakınsamanın büyük ölçüde matrisinizin spektrumuna bağlı olduğudur. Uzawa'nın yöntemini kullanamasanız da, GMRES, Biconjugate stabilize gradyanı, MINRES, yarı minimal rezidüel yöntem ve belirsiz matrisler için geçerli olan diğer yinelemeli yöntemleri deneyebilirsiniz.

Çeşitli yöntemleri kodlamak bir endişe kaynağıysa, algoritmanızdaki çözücüleri, çeşitli yinelemeli doğrusal çözücüler uygulayan PETSc gibi bir kütüphane kullanarak çağırabilirsiniz .

— Geoff Oxberry
kaynak

1

MINRES bu tür problemler için en iyi seçimdir.

— Kees Vuik
kaynak

1

Lütfen kişisel sitenizi bu şekilde bağlamayın. Cevabınızla ilgili belirli kaynakları bağlamaktan çekinmeyin, ancak kişisel sitenizi bu şekilde bağlamayın. Bu cevaptan kaldırdım. Bu tür bağlantılar kullanıcı profilinize aittir.

— Jed Brown

Bu tür bir sorun için neden MINRES'in en iyi seçim olduğunu açıklayabilir misiniz? Daha fazla ayrıntı eklemek, yanıtınızı topluluk için daha kullanışlı hale getirmenize ve daha fazla oy almanıza yardımcı olacaktır.

— Geoff Oxberry