Isı denkleminin maksimum / minimum prensibi, Crank-Nicolson takdir yetkisi ile korunuyor mu?

10

1D ısı denklemini çözmek için Crank-Nicolson sonlu fark şemasını kullanıyorum. Isı denkleminin maksimum / minimum prensibinin (yani maksimum / minimumun başlangıç koşulunda veya sınırlarda gerçekleştiğini) ayrık çözüm için de geçerli olup olmadığını merak ediyorum.

Bu muhtemelen Crank-Nicolson'un istikrarlı ve yakınsak bir şema olduğu anlamına gelir. Ama öyle görünüyor ki bunu doğrudan Crank-Nicolson şablonundan oluşturulan matrisleri kullanarak doğrusal bir cebir argümanı ile kanıtlayabiliyor olabilirsiniz.

Bu konuda literatüre işaret ettiğim için teşekkür ederim. Teşekkürler.

— foobarbaz
kaynak

Merhaba foobarbaz ve scicomp'a hoş geldiniz! Çözdüğünüz sorunun kaynak terimi olmadığını varsayıyorum, değil mi?

— Paul

8

Crank-Nicolson için maksimum prensip

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Bir kanıt için bkz . KW Morton'un Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümleri . Özellikle Bölüm 2.10 ve 2.11 ve Teorem 2.2'ye bakınız.

$\mu$

$[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

$u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

Foobarbaz'ın isteğine yanıt olarak, kanıtın bir taslağını ekledim.

Anahtar şemayı şeklinde yazmaktır.

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

hipotezi $\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
kaynak

Teşekkürler! Morton'dan başka bir referans biliyor musunuz? Google Kitap önizlemesinde bu Bölümlere veya Teorem'e erişemiyorum. Kanıtı anlamak istiyorum.

— foobarbaz

@foobarbaz Kullanışlı başka bir referansım yok, ancak ispatın bir taslağını ekledim. Daha açık hale getirebilirsem bana bildirin.

— Ben

0

Kararlılık, bir bozulmanın zamanla sınırlı kaldığı anlamına gelir. Bu, maksimum prensibin ayrık seviyede karşılandığı anlamına gelmez, bu farklı bir konudur. Kesikli maksimum prensibi yerine getirmek yeterlidir, ancak kararlılık için gerekli değildir.

— chris
kaynak