FEM'in ayrıklaştırılması için zayıf bir form elde etmek için parçaların entegrasyonunu kullanma amacı nedir?

24

Bir PDE'nin güçlü formundan FEM formuna giderken, her zaman bunu önce varyasyon formunu belirterek yapması gerekir. Bunu yapmak için, güçlü formu bazı (Sobolev) uzayda bir element ile çarparak bölgenize entegre edebilirsiniz. Bunu kabul edebilirim. Anlamadığım şey, neden Green'in formülünü kullanması gerektiğidir (bir veya birkaç kez).

Çoğunlukla Poisson denklemi ile çalışıyorum, yani bunu (homojen Dirichlet sınır koşulları ile) bir örnek olarak alırsak, yani

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

daha sonra varyasyon formunu oluşturmanın doğru yolunun olduğu iddia edilir.

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Fakat ifadeyi ilk satırda kullanmamı engelleyen şey, bu aynı zamanda bir FEM formu almak için kullanılabilecek değişken bir form değil mi? Bilearear ve linear formlara karşılık gelmiyor mu ve ? Buradaki sorun eğer doğrusal temel işlevler kullanırsam (şekil işlevleri) sorunum olur çünkü sertlik matrisim boş matris olur (tersinir değil)? Peki ya doğrusal olmayan şekil fonksiyonlarını kullanırsam? Hala Green'in formülünü kullanmak zorunda mıyım? Mecbur değilsem: tavsiye edilebilir mi? Eğer yapmazsam, o zaman varyasyonel ama zayıf bir formülasyonum olur mu? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

Şimdi, daha yüksek mertebeden türevlere sahip bir PDE'm olduğunu varsayalım, bu Green'in formülünü nasıl kullandığıma bağlı olarak birçok olası varyasyon biçimi olduğu anlamına mı geliyor? Ve hepsi (farklı) FEM yaklaşımlarına yol açıyor mu?

pde finite-element elliptic-pde

— Hristiyan
kaynak

Related: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

18

Kısa cevap:

Hayır, belirli FEM'ler için entegrasyon yapmanız gerekmez. Ama senin durumunda, bunu yapmak zorundasın.

Uzun cevap:

Diyelim ki sonlu elemanlar çözümü. Temel olarak parçalı doğrusal polinomu seçerseniz, o zaman alarak size bir sipariş dağıtımı (Heaviside adım işlevinde türev almayı düşünün) ve de entegrasyonu ile çarpmak , yalnızca onu iç ürünü yerine dualite çifti olarak kabul ettiğinizde mantıklı olacaktır . Sen ne boş bir matris alacak, Riesz teoremi bir unsur olduğunu söylüyor iç ürünle ikilik çifti karakterize edebilir : $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ Parça elemanının öğesiyle bütünleştirilmesi bu dualite çiftine bir ışık tutacaktır: için bu üçgenlemede bir öğe bu size elemanlar gerektiğini söyler dualite çifti gösteriminde akı atlama, her elemanın sınırındaki entegrasyonun aynı zamanda ve arasındaki bir dualite çifti olduğunu fark edin. $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ . Her element üzerinde kaybolan bir olmayan ikinci dereceden bir temel kullanıyor olsanız bile , bu elemanlar arasındaki akı sıçramasının varlığı nedeniyle hala iç ürün olarak yazamazsınız . $\Delta$ $(\Delta u, v)$
Parçalarla entegrasyon, eliptik pde için Sobolev teorisine geri izlenebilir, burada alanlarının tamamı türündeki integral normunun altındaki düzgün fonksiyonların kapatılmasıdır . O zaman insanlar, iç çarpımı gerçekleştirebilmemiz için burada asgari düzenliliğin ne olduğunu söylüyor. Ayrıca bir göz önünde tutarak , belirli koşullar altında -Normal zayıf eriyik olan -strong solüsyonu (eliptik düzenlilik). Fakat parça parça sürekli lineer polinom değildir , bu açıdan, kullanarak iç çarpımı almanın bir anlamı yoktur . $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
Bazı FEM'ler için, parçalarla entegrasyon yapmanız gerekmez. Örneğin, en küçük kare sonlu eleman. İkinci sıra kodunu birinci sıra sistem olarak yazın: Sonra en küçük kareler işlevini en aza indirmek istersiniz: Ritz-Galerkin fonksiyonel ile aynı ruhu taşıyan, yukarıdaki işlevselliği en aza indirgeyen sonlu elemanlar sonlu elemanlar alanı parçalar tarafından entegrasyon gerektirmez.
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Shuhao Cao
kaynak

17

Hiçbir şey bunu teknik olarak yapmanıza engel olamaz, ancak parçalarla birleştirdiğinizde, düzenliliğine sahip olmaları gerekmeyecek (IBP olmayan formülasyon için gerekli) olmaları gereken çözüm alanıyla daha fazla esneklik elde edersiniz . Önerdiğiniz lineer elemanlar genellikle elemanlar arasında sürekliliği sağlamıştır ve de olamazlar . IBP formülasyonu ayrıca kendi avantajlarından bazılarına sahip olan simetriktir. $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
kaynak

1

Doğrusal şekil işlevlerinin, bulunmayan FEM formülasyonuna bir çözüm sunduğunu mu söylüyorsunuz, çünkü bu FEM çözümünü iki kere (zayıf şekilde) ayırt etmek, de olmayan bir delta dağılımlarının toplamını verir ? Bu, pde: 2'den yüksek s için, 1'den yüksek sekil şekil fonksiyonlarını kullanmam gerektiği anlamına geliyor mu (en azından test ve deneme alanları aynıysa?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Hristiyan

1

Söylediklerin aslında doğru. Eğer ikinci mertebeden PDE daha yüksek gelince mutlaka yardımcı olabilir (Shuhao cevabını bakın) karışık formülasyonu yazmaktan daha yüksek düzenlilik boşluk kullanmak zorunda. Bu zorluğu önlemek için atlama cezası gibi diğer teknikleri de kullanabilirsiniz. Klasik bir FEM cevabı için, evet, daha fazla düzenli olmanız gerekir.

— Reid.Atcheson

2

Simetrinin önemini vurgulayayım. Diferansiyel bir operatör kendiliğinden birleşiyorsa, sonunda simetrik bir matrisle bitmesini bekliyorum. Parçalarla entegrasyon olmadan bu durum böyle olmayacak.

— Stefano M

1

Hesaplamalı faydalar, bunu eklemeye yönelik birincil düşüncemdi, ancak simetrinin güçlü teorik faydaları da var mı (ayrıklaştırma simetrik olmasa bile, eliptik durumda hala muhtemel olan gerçeklerin daha kolay kanıtları dışında)?

— Reid.Atcheson

15

Zaten bu sayfada mükemmel cevaplar, ancak hala (küçük) bir eksik nokta var.

OP sordu:

Şimdi, daha yüksek mertebeden türevlere sahip bir PDE'm olduğunu varsayalım, bu Green'in formülünü nasıl kullandığıma bağlı olarak birçok olası varyasyon biçimi olduğu anlamına mı geliyor? Ve hepsi (farklı) FEM yaklaşımlarına yol açıyor mu?

Neumann tipinde sınır koşullarınız varsa, parçalarla entegrasyon ( doğru şekilde) önemlidir. Aslında, ibadet edersiniz, Neumann bc'yi varyasyonel formülasyonunuzda dikkate alırsınız. Neumann bc formu, parçalarla nasıl bütünleştiğinize bağlıdır, cf. Bu cevap , parçaların lineer esneklikte entegrasyonuna cevap verir. Bu nedenle, ikinci dereceden eliptik PDE'ler için bile, Neumann ya da karma sınır koşulları için geçerli olan değişken bir formülasyonu elde etmek için parçalarla entegrasyon belirli bir şekilde yapılmalıdır. (Ve elbette bu, FEM'in takdirine bağlı olduğunuz gerçeğinden bağımsız olarak).

Neumann bc'nin iyi tanımlanmış bir anlama sahip olduğu (ısı akısı, stres ...) matematiksel fizikte, sonuçların doğru yorumlanması için parçalarla entegrasyon önemlidir. Homojen Dirichlet koşulları ve FEM için bile geçerlidir, çünkü bc'leri uygulamak için bir Lagrange çarpan yöntemi kullanırsak, çarpanlar konsantre akılar veya kuvvetler gibi fiziksel büyüklükler haline gelir.

— Stefano M
kaynak