Aşırı Değer Teorisi - Göster: Normal - Gumbel

Maksimum iid Standardnormals , Aşırı Değer Teorisine göre Standart Gumbel Dağılımına yakınsar . $X_1,\dots,X_n. \sim$

Bunu nasıl gösterebiliriz?

Sahibiz

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

$a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$ sabit dizilerini şu şekilde bulmamız / seçmeliyiz :

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

Çözebilir veya literatürde bulabilir misiniz?

Bazı örnekler pg.6 / 71'dir , ancak Normal durum için değildir:

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— Emcor
kaynak

Yanıtlar:

Dolaylı bir yol şu şekildedir:
Kesinlikle sürekli dağılımlar için Richard von Mises (1936'da " İngilizce?" makaleleri), bir numunenin maksimum değerinin standart Gumbel, ile birleşmesi için aşağıdaki yeterli koşulu sağladı : $G(x)$

Let ortak dağıtım fonksiyonudur rastgele değişkenler IID ve ortak yoğunluğu. O zaman eğer $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

Standart normal için normal gösterimi kullanarak ve türevi hesaplayarak,

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{φ (x)} = \frac{- φ (x)^{2} - φ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{φ (x)^{2}} = \frac{- φ^{'} (x)}{φ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{φ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

olduğuna dikkat edin . Ayrıca, normal dağılım için . Bu yüzden sınırı değerlendirmeliyiz $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{φ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

Ancak Mill'in oranı, ve standart normal için Mill'in oranı eğiliminde olduğunu biliyoruz olarak büyür. Yani $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{φ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

ve yeterli koşul yerine getirilir.

İlişkili seriler

{bir}_{n} = \frac{1}{n φ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

Bu ch. HA David ve HN Nagaraja (2003), "Sipariş İstatistikleri" (3d baskı) kitabının 10.5 .

$\xi_a = F^{-1}(a)$ . Ayrıca, de Haan'a atıf "Haan, LD (1976) ' dır . Ekstrem örnekler: temel bir giriş. Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172. " Ama dikkat et çünkü bazı gösterimlerin de Haan'daki içeriği farklı - örneğin kitabında olasılık yoğunluk fonksiyonu, de Haan'da kitabın fonksiyonu anlamına gelir (yani Mill'in oranı). Ayrıca, Haan zaten farklılaştırılmış olan yeterli koşulu inceler. $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

resim açıklamasını buraya girin

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Çözümünüzü anladığımdan emin değilim. Böylece standart normal CDF olarak aldınız . Bunu takip ettim ve yeterli koşulun sağlandığını kabul ettim. Ama ilişkili ve serileri bunlardan aniden nasıl?

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— renrenthehamster

@renrenthehamster Sanırım bu iki bölüm bağımsız olarak ifade edildi (doğrudan bağlantı yok).

— emcor

Peki ilgili seri nasıl elde edilebilir? Her neyse, bu konu hakkında bir soru açtım (ve daha genel olarak, standart normalin ötesindeki diğer dağıtımlar için)

— renrenthehamster

@renrenthehamster Alakalı materyal ekledim. Bu serileri bulmak için tüm vakalar için standart bir tarif olduğuna inanmıyorum.

— Alecos Papadopoulos

Soru iki isteklerde: (1) göstermektedir nasıl maksimum yakınsak, anlamında olduğu yakınsak (dağılım olarak) uygun bir şekilde seçilmiş diziler için ve , Standart Gumbel dağılımına ve (2) bu tür dizilerin nasıl bulunacağına. $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

Birincisi, Fisher-Tippett-Gnedenko teoremi (FTG) hakkındaki orijinal makalelerde iyi bilinir ve belgelenir. İkincisi daha zor görünüyor; burada ele alınan sorun budur.

Bu konunun başka bir yerinde görünen bazı iddiaları açıklığa kavuşturmak için lütfen

Maksimum yok değil herhangi bir şey yakınsama: o (son derece yavaş da olsa) uzaklaşmakta.
Gumbel dağılımı ile ilgili farklı sözleşmeler var gibi görünmektedir. Tersine çevrilmiş bir Gumbel dağılımının CDF'sinin tarafından verilen ölçek ve konuma kadar olduğu anlaşmasını kabul edeceğim . Uygun şekilde standartlaştırılmış bir maksimum iid Normal değişkenleri, ters çevrilmiş bir Gumbel dağılımına yakınsar. $1-\exp(-\exp(x))$

Sezgi

Tüm ortak dağıtım işlevi ile iid , maksimum dağılımı olup $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

desteğinin, Normal dağılımda olduğu gibi üst sınırı olmadığında, işlevlerinin sırası sınırsız olarak sonsuza kadar sağa doğru yürür: $F$ $F^n$

Şekil 1

Kısmi grafikleri için gösterilmiştir. $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

Bu dağılımların şekillerini incelemek için , her birini bir miktar sola kaydırabilir ve karşılaştırılabilir hale getirmek için ile yeniden ölçeklendirebiliriz . $b_n$ $a_n$

şekil 2

Önceki grafiklerin her biri, medyanını ve çeyrekler arası birim uzunluk aralığını yapmak için kaydırılmıştır . $0$

FTG, ve sekanslarının , bu dağıtım fonksiyonlarının ölçek ve konuma kadar her noktasında bir miktar aşırı değer dağılımına noktasal olarak yakınlaşacağı şekilde seçilebileceğini ileri sürer . Tüm bir normal dağılım, özellikle sınırlandırıcı uç değer dağılımı kadar bir konum ve ölçeğe Gumbel tersine çevrilir. $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

Çözüm

Birim ortalamasına ve birim varyansına sahip olmak için standartlaştırılarak Merkezi Limit Teoremini taklit etmek cazip gelebilir. Bu kısmen uygun değildir, çünkü FTG birinci veya ikinci anları olmayan (sürekli) dağıtımlar için bile geçerlidir. Bunun yerine, formasyonu belirlemek için bir persentil (medyan gibi) ve formayı belirlemek için persantiller (IQR gibi) farkı kullanın. (Bu genel yaklaşım bulmakta başarılı olmalı ve için herhangi sürekli dağılımı.) $F_n$ $a_n$ $b_n$

Standart Normal dağılım için bu kolay olur! Bırakın . Bir miktarsal tekabül herhangi bir değerdir için . tanımını hatırlatarak çözüm $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

x_{q; n} = F^{- 1} (q^{1 / n}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

Bu nedenle

b_{n} = x_{1 / 2; n}, {bir}_{n} = x_{3 / 4; n} - x_{1 / 4; n}; {G,}_{n} (x) = F_{n} ({bir}_{n} x + b_{n}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

İnşaat göre, medyan için olan ve IQR olan , bir sınır değeri medyan (a Gumbel'ı ters bazı versiyonu) olması gerekir ve IQR olmalıdır . Scale parametresinin ve location parametresinin olmasına izin verin . Ortanca ve IQR'nin olduğu kolayca belirlendiğinden, parametreler $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{günlük günlük 2}{günlük günlük (4 / 3) - günlük günlük (4)}; β = \frac{1}{günlük günlük (4) - günlük günlük (4 / 3)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

İçin gerekli değildir ve olmak tam olarak bu değerler: onlar sadece limiti sağladı, yaklaşık olarak ifade gerek hala bu Gumbel dağılımı tersine çevirdi. Standart bir normal için doğrudan (ama sıkıcı) analiz , yaklaşık $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

{bir}_{n}^{'} = \frac{günlük ((4 {günlük}^{2} (2)) / ({günlük}^{2} (\frac{4}{3})))}{2 \sqrt{2 günlük (n)}}, b_{n}^{'} = \sqrt{2 günlük (n)} - \frac{günlük (günlük (n)) + günlük (4 π {günlük}^{2} (2))}{2 \sqrt{2 günlük (n)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

iyi çalışır (ve mümkün olduğunca basittir).

Figür 3

Açık mavi eğriler , yaklaşık ve dizilerini kullanan için kısmi grafikleridir . Koyu kırmızı çizgi, ters çevrilmiş Gumbel dağılımını ve parametreleriyle grafik olarak gösterir . Yakınsama açıktır (negatif için yakınsama oranı belirgin şekilde daha yavaş olsa da). $G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

Referanslar

BV Gnedenko, Rastgele Bir Seride Maksimum Terimin Sınırlı Dağılımı Üzerine . Kotz ve Johnson'da İstatistikler Atılımları Cilt I: Temeller ve Temel Teori, Springer, 1992. Çeviren: Norman Johnson.

— whuber
kaynak

İçin Alecos yayınının formül @Vossler yakınsamaktadır olarak . Bu davranır gibi büyük için .

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

— whuber

Evet, bu doğru, yorumumu gönderdikten kısa bir süre sonra bunu anladım ve hemen sildim. Teşekkür ederim!

— Vossler

@Jess, bu cevabın, diğer şeylerin yanı sıra, "formül" diye bir şey olmadığını gösterecek şekilde anlaşılmasını umuyordum: ve için sayılamayacak kadar doğru formül var

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

— whuber

@Jess Bu daha iyi, çünkü alternatif bir yaklaşım göstermek bu cevabı yazma motivasyonuydu. "Bir cevap yazmanın yararsız" olduğunu düşündüğüm imalarınızı anlamıyorum, çünkü burada yaptığım şey tam olarak bu.

— whuber

@Jess Bu sohbete devam edemiyorum çünkü tamamen tek taraflı: Karakterizasyonlarınızdan herhangi birinde yazdığım herhangi bir şeyi henüz tanımamıştım. Arkadayken bırakıyorum.

— whuber