İki örnekli CDF nedir

Tek taraflı Kolmogorov-Smirnov testi için -değerlerini nasıl elde edeceğimi anlamaya çalışıyorum ve ve için CDF'ler bulmaya çalışıyorum iki örnekli durumda. Aşağıda birkaç örnekte, tek örnekli bir durumda için CDF olarak bahsedilmiştir : $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

Ayrıca, whuber sez bu tek örnekli CDF'nin biraz farklı bir formülasyonu var ( burada gösterimle tutarlılık için alıntısında $x$ yerine $t$ ):

Olasılık integrali dönüşümünü kullanarak Donald Knuth , (ortak) dağılımlarını s. 57 ve TAoCP Cilt 2'nin 17. alıştırması.

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \underset{c \leq k \leq x}{Σ} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

Bu, tek örneklemedeki tek taraflı hipotezler için geçerlidir, örneğin: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , burada $F(x)$ ampirik CDF'dir ve $x$ ve $F_{0}$ , bazı CDF olup.

I düşünmek bu durumda değeri kişinin numunede ve bu olan en büyük tam sayıyı . (Bu doğru mu?) $x$ $D^{+}_{n}$ $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ $n-nx$

Ancak iki örnek olduğunda (veya ) için CDF nedir? Örneğin, ve ampirik CDF'leri için H olduğunda ? Nasıl elde etmek için ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— Alexis
kaynak

Tıpkı bu soruyu cevaplamak isteyen herkes için bir işaretçi olarak - Alexis'in önceki sorusuna cevabımın (yukarıdaki soruda bağlantılıdır), her birinin bir dizi ilgili referansı olan tarihin bazı tartışmalarıyla birkaç referansa bağlantıları vardır. Bu dokümanları ve bunların referans listesini kontrol etmek isteyebilirsiniz.

— Glen_b-Monica

@Glen_b Teşekkürler! Diğer soruma verdiğiniz mükemmel cevabı gerçekten takdir ediyorum ve alıntı yapılan kaynakları takip ettim, ancak orada CDF'de için çekişim yok ve yorumları aşağı indirmek yerine yeni bir sorgu açacağımı düşündüm . Bunun için işe yarayacak herhangi bir şey biliyorsanız, ek referanslar kabul edilir.

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis

Alexis: Yorumumda hiçbir eleştiri yapılmadı; yeni bir soru açma tercihiniz tam olarak doğruydu (bence). Sadece ilgili referansların bazılarını takip etmek için insanları biraz çalışkanlıktan kurtarmak istedim - diğer soruya olan bağlantınızı takip etmenin herkesin gerçekleşmeyebileceğini düşündüm ve bu bağlantıları benim yapan kişilerde olmayabilir cevap bilmek istedikleri bazı referanslar vardı.

— Glen_b -Mons Monica

Tamam, buna bir bıçak koyacağım. Kritik bilgiler hoş geldiniz.

Sayfa 192 Gibbons ve Chakraborti (1992), Hodges, 1958'den bahsederken, iki taraflı test için küçük bir örnek (tam?) CDF ile başlar ( için ve gösterimlerini değiştiriyorum ve sırasıyla): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Nerede $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ yolların numaralandırılması yoluyla üretilir (monoton olarak $n_{1}$ ve $n_{2}$ ) başlangıç noktasından noktaya $\left(n_{1},n_{2}\right)$ ile bir grafik üzerinden $S_{m}(x)$ için $F_{n_{1}}(x)$ Alınmış değerler x -Axis ve y -Axis olan $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ ve $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ . Yollar ayrıca sınırların içinde kalmanın kısıtlamasına uymalıdır ( $x$ Kolmogorov-Smirnov test istatistiği değeridir):

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Aşağıdaki resim Şekil 3.2 için bir örnek sağlar $A(3,4)$ , bu tür 12 yolla:

Şekil 3.2, sayfa 193, Gibbons ve Chakraborti (1992) Parametrik Olmayan İstatistiksel Çıkarım.

Gibbons ve Chakaborti tek taraflı olduğunu söylemeye devam ediyor $p$ -değer, aynı grafik yöntem kullanılarak elde edilir, ancak $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ ve yalnızca üst $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ .

Bu küçük örnek yaklaşımlar, şüphesiz asimptotik hesaplamaları arzu edilir kılan yol numaralandırma algoritmaları ve / veya rekürrens ilişkileri gerektirmektedir. Gibbons ve Chakraborti de sınırlayıcı CDF'leri $n_{1}$ ve $n_{2}$ sonsuzluğa yaklaş $D_{n_{1},n_{2}}$ :

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

Ve onlar sınırlayıcı CDF verir $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ (veya $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ ) gibi:

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

Çünkü $D^{+}$ ve $D^{-}$ kesinlikle negatif olmadığında, CDF yalnızca sıfır olmayan değerleri alabilir $[0,\infty)$ :

$$ D ^ {+} $ CDF'si (veya $ D ^ {-} $)$

Kaynaklar
Gibbons, JD and Chakraborti, S. (1992). Parametrik Olmayan İstatistiksel Çıkarım . Marcel Decker, Inc., 3. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskı.

Hodges, JL (1958). Smirnov iki örneklem testinin önem olasılığı. Arkiv för matematik . 3 (5): 469--486.

— Alexis
kaynak

Gerçek cdf her yerde bulunur, ancak

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$ cdf sıfır olacaktır; verdiğiniz fonksiyonel form sadece

x \geq 0

$x\geq 0$ (bu basit akıl yürütmeye uygundur;

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$ ?

— Glen_b