Bağlantı verdiğiniz slaytlar biraz kafa karıştırıcıdır, adımları bırakır ve birkaç yazım hatası yapar, ancak sonuçta doğrudur. Önce 2. soruya sonra 1'e, sonra da simetrikleştirici dönüşüm .A(u)=∫u−∞1[V(θ)]1/3dθ
Soru 2. rasgele değişkenlerinin boyutunda bir örneklemin ortalaması olarak analiz . Bu önemli bir miktardır çünkü aynı dağılımı örneklemek ve ortalamaları almak bilimde her zaman olur. 'ın gerçek ortalamaya ne kadar yakın olduğunu bilmek istiyoruz . Merkezi Limit Teoremi olarak birleşeceğini söylüyor ancak ın varyansını ve eğriliğini bilmek istiyoruz .X¯NX1,...,XNX¯μμN→∞X¯
Soru 1. Taylor serisi yaklaşım yanlış değil, ama biz takip konusunda dikkatli olmak gerekir vs ve yetkileri slaytlar aynı sonuca ulaşmak için. tanımları ve merkezi anları ile ve formülünü :X¯XiNX¯Xiκ3(h(X¯))
X¯=1N∑Ni=1Xi
E[Xi]=μ
V(Xi)=E[(Xi−μ)2]=σ2
κ3(Xi)=E[(Xi−μ)3]
Şimdi, ın merkezi anları :X¯
E[X¯]=1N∑Ni=1E[Xi]=1N(Nμ)=μ
V(X¯)=E[(X¯−μ)2]=E[((1N∑i=1NXi)−μ)2]=E[(1N∑i=1N(Xi−μ))2]=1N2(NE[(Xi−μ)2]+N(N−1)E[Xi−μ]E[Xj−μ])=1Nσ2
Son adım ve . Bu, en kolay türetimi olmayabilir , ancak ve bulmak için yapmamız gereken aynı işlemdir. , burada bir özetlemenin bir ürününü ayırırız ve farklı değişkenlerin güçleriyle terimlerin sayısını sayarız. Yukarıdaki durumda, vardı formunda olan şartlar ve şekil bakımından .E[Xi−μ]=0E[(Xi−μ)2]=σ2V(X¯)κ3(X¯)κ3(h(X¯))N(Xi−μ)2N(N−1)(Xi−μ)(Xj−μ)
κ3(X¯)=E[(X¯−μ)3)]=E[((1N∑i=1NXi)−μ)3]=E[(1N∑i=1N(Xi−μ))3]=1N3(NE[(Xi−μ)3]+3N(N−1)E[(Xi−μ)E[(Xj−μ)2]+N(N−1)(N−2)E[(Xi−μ)]E[(Xj−μ)]E[(Xk−μ)]=1N2E[(Xi−μ)3]=κ3(Xi)N2
Daha sonra, Taylor dizisinde şu şekilde genişleteceğiz :h(X¯)
h(X¯)=h(μ)+h′(μ)(X¯−μ)+12h′′(μ)(X¯−μ)2+13h′′′(μ)(X¯−μ)3+...
E[h(X¯)]=h(μ)+h′(μ)E[X¯−μ]+12h′′(μ)E[(X¯−μ)2]+13h′′′(μ)E[(X¯−μ)3]+...=h(μ)+12h′′(μ)σ2N+13h′′′(μ)κ3(Xi)N2+...
Biraz daha fazla çaba ile terimlerin geri kalanının olduğunu kanıtlayabilirsiniz . Son olarak, , ( ), yine benzer bir hesaplama yaparız:O(N−3)κ3(h(X¯))=E[(h(X¯)−E[h(X¯)])3]E[(h(X¯)−h(μ))3]
κ3(h(X¯))=E[(h(X¯)−E[h(X¯)])3]=E[(h(μ)+h′(μ)(X¯−μ)+12h′′(μ)(X¯−μ)2+O((X¯−μ)3)−h(μ)−12h′′(μ)σ2N−O(N−2))3]
Yalnızca siparişiyle sonuçlanan terimlerle ilgileniyoruz ve fazladan çalışma ile " terimlerine ihtiyacınız olmadığını gösterebilirsiniz. "veya" "olarak adlandırın, çünkü bunlar yalnızca sırası ile sonuçlanır . Yani, basitleştirmek gerekirse,O(N−2)O((X¯−μ)3)−O(N−2)O(N−3)
κ3(h(X¯))=E[(h′(μ)(X¯−μ)+12h′′(μ)(X¯−μ)2−12h′′(μ)σ2N))3]=E[h′(μ)3(X¯−μ)3+18h′′(μ)3(X¯−μ)6−18h′′(μ)3σ6N3+32h′(μ)2h′′(μ)(X¯−μ)4+34h′(μ)h′′(μ)(X¯−μ)5−32h′(μ)2h′′(μ)(X¯−μ)2σ2N+O(N−3)]
Bu üründe açıkça olan bazı terimleri bıraktım . Kendinizi ve terimlerinin de. Ancak,O(N−3)E[(X¯−μ)5]E[(X¯−μ)6]O(N−3)
E[(X¯−μ)4]=E[1N4(∑i=1N(X¯−μ))4]=1N4(NE[(Xi−μ)4]+3N(N−1)E[(Xi−μ)2]E[(Xj−μ)2]+0)=3N2σ4+O(N−3)
Sonra bizim denklemi için üzerinde beklentiyi dağıtarak , elimizdekiκ3(h(X¯))
κ3(h(X¯))=h′(μ)3E[(X¯−μ)3]+32h′(μ)2h′′(μ)E[(X¯−μ)4]−32h′(μ)2h′′(μ)E[(X¯−μ)2]σ2N+O(N−3)=h′(μ)3κ3(Xi)N2+92h′(μ)2h′′(μ)σ4N2−32h′(μ)2h′′(μ)σ4N2+O(N−3)=h′(μ)3κ3(Xi)N2+3h′(μ)2h′′(μ)σ4N2+O(N−3)
Bu, türetilmesiyle sonuçlanır . Şimdi, nihayet, simetrize edici dönüşüm .κ3(h(X¯))A(u)=∫u−∞1[V(θ)]1/3dθ
Bu dönüşüm için, biçiminde üstel bir aile dağılımından ve özellikle doğal bir üstel aileden (veya bu dağılıma dönüştürülmüş) olmasıXifXi(x;θ)=h(x)exp(θx−b(θ))
Bu durumda, dağılımın . Yani , ve . Bu geç parametre bir fonksiyonu olarak sadece tersini alarak'yazma . Sonraκk=b(k)(θ)μ=b′(θ)σ2=V(θ)=b′′(θ)κ3=b′′′(θ)θμb′θ(μ)=(b′)−1(μ)
θ′(μ)=1b′′((b′)−1(μ))=1b′′(θ))=1σ2
Sonra varyansı işlevi olarak yazabilir ve bu işlevi :μV¯
V¯(μ)=V(θ(μ))=b′′(θ(μ))
Sonra
ddμV¯(μ)=V′(θ(μ))θ′(μ)=b′′′(θ)1σ2=κ3σ2
, işlevi olarak .μκ3(μ)=V¯′(μ)V¯(μ)
Şimdi, symmetrizing dönüşümü sağlamak için, bir çarpıklık azaltmak isteyen yaparak , böylece olduğu . Böylece istiyoruzh(X¯)h′(μ)3κ3(Xi)N2+3h′(μ)2h′′(μ)σ4N2=0h(X¯)O(N−3)
h′(μ)3κ3(Xi)+3h′(μ)2h′′(μ)σ4=0
ve için ifadelerimizi işlevi olarak değiştiririz :σ2κ3μ
h′(μ)3V¯′(μ)V¯(μ)+3h′(μ)2h′′(μ)V¯(μ)2=0
Yani , .h′(μ)3V¯′(μ)+3h′(μ)2h′′(μ)V¯(μ)=0ddμ(h′(μ)3V¯(μ))=0
Bu diferansiyel denklemin bir çözümü:
h′(μ)3V¯(μ)=1 ,
h′(μ)=1[V¯(μ)]1/3
Yani, , herhangi bir sabit için, . Bu bize simetrize edici dönüşüm ; burada , doğal bir üstel ailede ortalamanın bir fonksiyonu.h(μ)=∫μc1[V¯(θ)]1/3dθcA(u)=∫u−∞1[V(θ)]1/3dθV