GLM'ler için normalleştirici dönüşümün türetilmesi


15

Üstel aile için A()=duV1/3(μ) normalleştirme dönüşümü nasıl türetilmişk

Daha spesifik olarak : Sayfa 3'teki Taylor genişletme taslağını takip etmeye çalıştım, burada slayt 1, ancak birkaç sorum var. İle X bir üstel ailesinden, dönüşüm h(X) ve κi belirten ith kümülant lamlar iddia:

κ3(h(X¯))h(μ)3κ3(X¯)N2+3h(μ)2h(μ)σ4N+O(N3),
ve h (X) 'u bulmak h(X)için yukarıda belirtilen 0 olarak değerlendirilir.
  1. İlk sorum aritmetik ile ilgili: Taylor genişlememin farklı katsayıları var ve terimlerin çoğunu düşürdüklerini haklı çıkaramıyorum.

    Since h(x)h(μ)+h(μ)(xμ)+h(x)2(xμ)2, we have:h(X¯)h(u)h(u))(X¯μ)+h(x)2(X¯μ)2E(h(X¯)h(u))3h(μ)3E(X¯μ)3+32h(μ)2h(μ)E(X¯μ)4+34h(μ)h(μ)2E(X¯μ)5+18h(μ)3E(X¯μ)6.

    Merkezi anları kümülatif eşdeğerleriyle değiştirerek benzer bir şey elde edebilirim, ama yine de toplanmıyor.

  2. İkinci soru: Analiz neden umursadığımız miktar X yerine \ bar {X} ile başlıyor ?X¯X


Eğer var gibi Şunu defalarcaμuμ
Glen_b -Reinstate Monica

Yanıtlar:


2

Bağlantı verdiğiniz slaytlar biraz kafa karıştırıcıdır, adımları bırakır ve birkaç yazım hatası yapar, ancak sonuçta doğrudur. Önce 2. soruya sonra 1'e, sonra da simetrikleştirici dönüşüm .A(u)=u1[V(θ)]1/3dθ

Soru 2. rasgele değişkenlerinin boyutunda bir örneklemin ortalaması olarak analiz . Bu önemli bir miktardır çünkü aynı dağılımı örneklemek ve ortalamaları almak bilimde her zaman olur. 'ın gerçek ortalamaya ne kadar yakın olduğunu bilmek istiyoruz . Merkezi Limit Teoremi olarak birleşeceğini söylüyor ancak ın varyansını ve eğriliğini bilmek istiyoruz .X¯NX1,...,XNX¯μμNX¯

Soru 1. Taylor serisi yaklaşım yanlış değil, ama biz takip konusunda dikkatli olmak gerekir vs ve yetkileri slaytlar aynı sonuca ulaşmak için. tanımları ve merkezi anları ile ve formülünü :X¯XiNX¯Xiκ3(h(X¯))

X¯=1Ni=1NXi

E[Xi]=μ

V(Xi)=E[(Xiμ)2]=σ2

κ3(Xi)=E[(Xiμ)3]

Şimdi, ın merkezi anları :X¯

E[X¯]=1Ni=1NE[Xi]=1N(Nμ)=μ

V(X¯)=E[(X¯μ)2]=E[((1Ni=1NXi)μ)2]=E[(1Ni=1N(Xiμ))2]=1N2(NE[(Xiμ)2]+N(N1)E[Xiμ]E[Xjμ])=1Nσ2

Son adım ve . Bu, en kolay türetimi olmayabilir , ancak ve bulmak için yapmamız gereken aynı işlemdir. , burada bir özetlemenin bir ürününü ayırırız ve farklı değişkenlerin güçleriyle terimlerin sayısını sayarız. Yukarıdaki durumda, vardı formunda olan şartlar ve şekil bakımından .E[Xiμ]=0E[(Xiμ)2]=σ2V(X¯)κ3(X¯)κ3(h(X¯))N(Xiμ)2N(N1)(Xiμ)(Xjμ)

κ3(X¯)=E[(X¯μ)3)]=E[((1Ni=1NXi)μ)3]=E[(1Ni=1N(Xiμ))3]=1N3(NE[(Xiμ)3]+3N(N1)E[(Xiμ)E[(Xjμ)2]+N(N1)(N2)E[(Xiμ)]E[(Xjμ)]E[(Xkμ)]=1N2E[(Xiμ)3]=κ3(Xi)N2

Daha sonra, Taylor dizisinde şu şekilde genişleteceğiz :h(X¯)

h(X¯)=h(μ)+h(μ)(X¯μ)+12h(μ)(X¯μ)2+13h(μ)(X¯μ)3+...

E[h(X¯)]=h(μ)+h(μ)E[X¯μ]+12h(μ)E[(X¯μ)2]+13h(μ)E[(X¯μ)3]+...=h(μ)+12h(μ)σ2N+13h(μ)κ3(Xi)N2+...

Biraz daha fazla çaba ile terimlerin geri kalanının olduğunu kanıtlayabilirsiniz . Son olarak, , ( ), yine benzer bir hesaplama yaparız:O(N3)κ3(h(X¯))=E[(h(X¯)E[h(X¯)])3]E[(h(X¯)h(μ))3]

κ3(h(X¯))=E[(h(X¯)E[h(X¯)])3]=E[(h(μ)+h(μ)(X¯μ)+12h(μ)(X¯μ)2+O((X¯μ)3)h(μ)12h(μ)σ2NO(N2))3]

Yalnızca siparişiyle sonuçlanan terimlerle ilgileniyoruz ve fazladan çalışma ile " terimlerine ihtiyacınız olmadığını gösterebilirsiniz. "veya" "olarak adlandırın, çünkü bunlar yalnızca sırası ile sonuçlanır . Yani, basitleştirmek gerekirse,O(N2)O((X¯μ)3)O(N2)O(N3)

κ3(h(X¯))=E[(h(μ)(X¯μ)+12h(μ)(X¯μ)212h(μ)σ2N))3]=E[h(μ)3(X¯μ)3+18h(μ)3(X¯μ)618h(μ)3σ6N3+32h(μ)2h(μ)(X¯μ)4+34h(μ)h(μ)(X¯μ)532h(μ)2h(μ)(X¯μ)2σ2N+O(N3)]

Bu üründe açıkça olan bazı terimleri bıraktım . Kendinizi ve terimlerinin de. Ancak,O(N3)E[(X¯μ)5]E[(X¯μ)6]O(N3)

E[(X¯μ)4]=E[1N4(i=1N(X¯μ))4]=1N4(NE[(Xiμ)4]+3N(N1)E[(Xiμ)2]E[(Xjμ)2]+0)=3N2σ4+O(N3)

Sonra bizim denklemi için üzerinde beklentiyi dağıtarak , elimizdekiκ3(h(X¯))

κ3(h(X¯))=h(μ)3E[(X¯μ)3]+32h(μ)2h(μ)E[(X¯μ)4]32h(μ)2h(μ)E[(X¯μ)2]σ2N+O(N3)=h(μ)3κ3(Xi)N2+92h(μ)2h(μ)σ4N232h(μ)2h(μ)σ4N2+O(N3)=h(μ)3κ3(Xi)N2+3h(μ)2h(μ)σ4N2+O(N3)

Bu, türetilmesiyle sonuçlanır . Şimdi, nihayet, simetrize edici dönüşüm .κ3(h(X¯))A(u)=u1[V(θ)]1/3dθ

Bu dönüşüm için, biçiminde üstel bir aile dağılımından ve özellikle doğal bir üstel aileden (veya bu dağılıma dönüştürülmüş) olmasıXifXi(x;θ)=h(x)exp(θxb(θ))

Bu durumda, dağılımın . Yani , ve . Bu geç parametre bir fonksiyonu olarak sadece tersini alarak'yazma . Sonraκk=b(k)(θ)μ=b(θ)σ2=V(θ)=b(θ)κ3=b(θ)θμbθ(μ)=(b)1(μ)

θ(μ)=1b((b)1(μ))=1b(θ))=1σ2

Sonra varyansı işlevi olarak yazabilir ve bu işlevi :μV¯

V¯(μ)=V(θ(μ))=b(θ(μ))

Sonra

ddμV¯(μ)=V(θ(μ))θ(μ)=b(θ)1σ2=κ3σ2

, işlevi olarak .μκ3(μ)=V¯(μ)V¯(μ)

Şimdi, symmetrizing dönüşümü sağlamak için, bir çarpıklık azaltmak isteyen yaparak , böylece olduğu . Böylece istiyoruzh(X¯)h(μ)3κ3(Xi)N2+3h(μ)2h(μ)σ4N2=0h(X¯)O(N3)

h(μ)3κ3(Xi)+3h(μ)2h(μ)σ4=0

ve için ifadelerimizi işlevi olarak değiştiririz :σ2κ3μ

h(μ)3V¯(μ)V¯(μ)+3h(μ)2h(μ)V¯(μ)2=0

Yani , .h(μ)3V¯(μ)+3h(μ)2h(μ)V¯(μ)=0ddμ(h(μ)3V¯(μ))=0

Bu diferansiyel denklemin bir çözümü:

h(μ)3V¯(μ)=1 ,

h(μ)=1[V¯(μ)]1/3

Yani, , herhangi bir sabit için, . Bu bize simetrize edici dönüşüm ; burada , doğal bir üstel ailede ortalamanın bir fonksiyonu.h(μ)=cμ1[V¯(θ)]1/3dθcA(u)=u1[V(θ)]1/3dθV


1

1.Niçi merkezli olmayan anlar açısından yaklaşarak aynı sonucu alamıyorum ve sonra merkezi anları hesaplayamıyorum yaklaşık merkez dışı anları mı kullanıyorsunuz?EX¯kE(X¯EX¯)k

Çünkü türetmeyi keyfi olarak değiştirirsiniz ve önemli olan kalıntı terimini düşürürsünüz. Büyük O gösterimi ve ilgili sonuçlara aşina değilseniz, iyi bir referans [Casella & Lehmann] 'dır.

h(X¯)h(u)h(u)(X¯μ)+h(x)2(X¯μ)2+O[(X¯μ)3]

E[h(X¯)h(u)]h(u)E(X¯μ)+h(x)2E(X¯μ)2+(?)

Ancak her zaman (yasal olmayan ...) yaptığınızı söyleyerek kalıntıyı düşürmeseniz bile , aşağıdaki adım: söylediğiniN

\E(h(X¯)h(u))3h(μ)3\E(X¯μ)3+32h(μ)2h(μ)\E(X¯μ)4+34h(μ)h(μ)2\E(X¯μ)5+18h(μ)3\E(X¯μ)6.(1)
[h(x)h(x0)]3dx=[h(x0)(xx0)+12h(x0)(xx0)2+O((xx0)3)]3dx=(1)

eğer bu hala net değilse, integrali genişletmenin cebirini şu şekilde görebiliriz:

[h(x0)(xx0)+12h(x0)(xx0)2+O((xx0)3)]3(2)

İzin vermek , ,A=h(x0)(xx0)B=12h(x0)(xx0)2C=O((xx0)3) (2)=[A+B+C]3 [A3+3A2B+3AB2+B3]=[A+B]3=(1)

Sizin hatanız, büyük O notasyonunda “klasik” bir hata olan ve daha sonra büyük O notasyonunun kullanılmasına yönelik bir eleştiri haline gelen kalıntıyı genişlemeden önce atlamaktır.

Analiz neden önemsediğimiz miktar yerine ile başlıyor ?X¯X

Çünkü analizimizi tanıttığımız üstel modelin yeterli istatistiklerine dayandırmak istiyoruz. 1 boyutunda bir örneğiniz varsa, VEYA .X¯=1ni=1nXiX1

GLM ile ilgili olmasa da, bu büyük O notasyonunda iyi bir derstir ...

Referans [Casella & Lehmann] Lehmann, Erich Leo ve George Casella. Nokta tahmini teorisi. Springer Science & Business Media, 2006.

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.