Bir zaman serisi ikinci dereceden durağansa, bu kesinlikle durağan mı demektir?

nin ortak dağılımı, ortak dağılımı ile işlemi $X_t$ kesinlikle sabittir. tüm , tüm ve tüm . $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ $t_1,t_2,...,t_m$

Bir işlem, ortalaması sabitse ve otokvaryans işlevi yalnızca gecikmeye bağlıysa, ikinci dereceden durağandır.

Bu nedenle, ikinci dereceden durağan sabit durağan mı?

Ayrıca ikinci derece durağan altında, birinci ve ikinci dereceden daha yüksek anlar hakkında hiçbir varsayım yapılmadığını söyler. İlk moment ortalamaya, ikinci moment otokovaryansa karşılık geliyor mu?

— clarkson
kaynak

İlgili bir tartışma için bu gönderiye de bakın .

— javlacalle

İkinci derece durağan olarak adlandırdığınız (veya kursunuzun çağırdığı) genellikle zayıf durağan veya geniş anlamda durağan (WSS) veya geniş anlamda durağan olarak adlandırılır. WSS süreçleri mutlaka durağan değildir, çünkü ortalama ve otokovaryans genel olarak dağılımı belirlemek için yeterli değildir . Tabii ki, bir WSS Gauss veya normal süreç (tüm normal rastgele değişkenler olduğu anlamına gelir ) kesinlikle sabittir, çünkü ortalama ve kovaryans matrisi eklem dağılımını belirler.

X_{t}

$X_t$

— Dilip Sarwate

Ayrıca bkz. 2. dereceden sabit olan ancak kesin olarak sabit olmayan bir işlem örneği . İkisi de kopya olmaya çok yakın. Bu soru aynı zamanda ikinci momentin otomatik kovaryansa atıfta bulunup bulunmadığını sorar, ancak bu gerçekten bir alt sorudur ve herhangi bir oranda iş parçacığında ele alınır İkinci derece durağan süreç nedir?

— Silverfish

mathoverflow.net/questions/42141/…

— Robby McKilliam

İkinci derece durağanlık katı durağanlıktan daha zayıftır. İkinci dereceden durağanlık, birinci ve ikinci dereceden momentlerin (ortalama, varyans ve kovaryanslar) zaman içinde sabit olmasını ve dolayısıyla sürecin gözlemlendiği zamana bağlı olmamasını gerektirir. Özellikle, dediğin gibi, kovaryans sadece gecikme sırasına ( bağlıdır , ancak ölçülme zamanına bağlı değildir, herkes için $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ . $t$

Dediğiniz gibi sıkı bir durağanlık sürecinde, tüm siparişlerin anları, yani zaman boyunca ortak dağıtım sabiti kalır ortak dağılımı ile aynı olan tüm $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ ve . $t1,t2,...,tm$ $k$

Bu nedenle, katı durağanlık ikinci dereceden durağanlığı içerir, ancak tersi doğru değildir.

Düzenle (@ whuber'ın yorumuna cevap olarak düzenlendi)

Önceki ifade, zayıf ve güçlü durağanlığın genel olarak anlaşılmasıdır. Zayıf anlamdaki durağanlığın daha güçlü bir anlamda durağanlık anlamına gelmediği düşüncesi sezgi ile anlaşabilse de, aşağıdaki yorumda whuber'ın işaret ettiği gibi ispat etmek o kadar kolay olmayabilir. Bu yorumda önerildiği gibi fikri göstermek faydalı olabilir.

İkinci derece durağan (zaman içinde ortalama, varyans ve kovaryans sabiti) olan bir süreci nasıl tanımlayabiliriz, ancak katı anlamda sabit değildir (daha yüksek dereceli anlar zamana bağlıdır)?

@Whuber tarafından önerildiği gibi (doğru anladıysam), farklı dağılımlardan gelen gözlem gruplarını birleştirebiliriz. Sadece bu dağılımların aynı ortalamaya ve varyansa sahip olmasına dikkat etmeliyiz (bu noktada birbirlerinden bağımsız olarak örneklendiklerini düşünelim). Bir yandan, biz örneğin Student gelen gözlemlerini üretebilir ile -Dağıtım serbestlik derecesine. Ortalama sıfır ve varyans . Başka taraftan, sıfır ortalama ve varyans ile Gauss dağılımı alabilir . $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

Her iki dağılımlar aynı ortalamaya (sıfır) ve varyans (paylaşan ). Dolayısıyla, bu dağılımdan rastgele değerlerin birleştirilmesi en azından ikinci dereceden durağan olacaktır. Bununla birlikte, Gauss dağılımı ile yönetilen bu noktalardaki basıklık , verinin Student dağılımından geldiği noktalarda . Bu nedenle, bu şekilde üretilen veriler tam anlamıyla durağan değildir, çünkü dördüncü dereceden momentler sabit değildir. $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

Kovaryanslar da sabittir ve sıfıra eşittir, çünkü bağımsız gözlemleri düşündük. Bu önemsiz görünebilir, bu nedenle aşağıdaki otoregresif modele göre gözlemler arasında bir miktar bağımlılık yaratabiliriz.

ile

y_{t} = φ y_{t - 1} + ε_{t}, | φ | < 1, t = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ε_{t} ~ {\begin{cases} N- (0, σ^{2} = 5 / 3) & Eğer t \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ t_{5} & Eğer t \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$|\phi| < 1$

$20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

Sonuçlar beklediğim gibi değil:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
kaynak

Doğru olmanıza rağmen, nihai sonucu yeterince göstermediniz. (İkinci dereceden bir durağan sürecin daha yüksek anlarının ilk iki anından bağımsız olarak reçete edilebileceğini varsayıyorsunuz, ancak bu - kısmen doğru olmasına rağmen - açık değil.) Sonucunuzu göstermenin en güçlü yolu ikinci dereceden durağan ama durağan olmayan bir süreç sergilemek. Her ne kadar uygun bir bağımsız rasgele değişken dizisi ile bunu yapmak kolay olsa da, tüm gecikmelerde kaybolan korelasyonlara bir örnek sunmak ilgi çekici olacaktır.

— whuber

@whuber Cevabımı düzenledim. Demek istediğini anladığımı sanıyordum ama fikrini takip etme girişimim tam olarak tatmin edici değildi.

— javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

Sıkı durağanlık ve kovaryans durağanlık sipariş etmem (her ne kadar "zayıf" teriminin de ne yazık ki böyle bir sıralamaya işaret ettiği halde). Bunun nedeni, katı durağanlığın kovaryans durağanlığı anlamına gelmemesidir: süreç kesinlikle durağan olabilir, ancak dağıtım momentleri olmayabilir veya sonsuz olabilir, bu durumda bu kesinlikle durağan süreç kovaryans durağan değildir.

— Alecos Papadopoulos

Anların varlığını doğrudan simüle edemeyiz . Önemsiz örneği almak için kesinlikle sabit bir Cauchy süreci oluşturun. Grafik mükemmel bir şekilde "durağan" görünecektir, çünkü sürecin davranışı tekrarlayıcıdır, sadece var olduklarında anlara bağlı bir davranış . Eğer yoksa, davranış tanımlanır ve dağılımın diğer özelliklerine bağlıdır.

— Alecos Papadopoulos

Yorum yapamadığım ve @javlacalle'ın cevabına değerli bir uyarı verdiğim için, bu ayrı bir cevap eklemek zorundayım:

@javlacalle şunu yazdı

katı durağanlık ikinci dereceden durağanlığı içerir, ancak tersi doğru değildir.

Bununla birlikte, güçlü durağanlık zayıf durağanlık anlamına gelmez. Bunun nedeni, güçlü durağanlığın, sürecin mutlaka sınırlı bir ikinci anı olduğu anlamına gelmemesidir. Örneğin, standart Cauchy dağılımına sahip bir iid işlemi kesinlikle durağandır ancak sonlu ikinci bir anı yoktur. Gerçekten de, sonlu bir ikinci momentin olması, kuvvetli bir durağan sürecin zayıf durağanlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Kaynak: Myers, DE, 1989. Olmak ya da olmamak. . . sabit? Soru bu. Matematik. Jeoloji. 21, 347-362'de açıklanmaktadır.

— ShayPal5
kaynak