Olay çalışması metodolojisine Bayesci bir yaklaşımın ekonometrisi

Bir olayın hisse senedi fiyatı üzerindeki etkisini belirlemek için ekonomi ve finansta etkinlik çalışmaları yaygındır, ancak neredeyse her zaman sıkça akıl yürütmeye dayanır. OLS regresyonu - olay penceresinden farklı bir referans dönemi boyunca - genellikle bir varlığın normal getirisini modellemek için gerekli parametreleri belirlemek için kullanılır. Daha sonra , ile arasındaki belirli bir olay penceresi sırasında bir olayı takip eden varlık üzerindeki kümülatif anormal getirilerin ( ) istatistiksel önemi belirlenir . Bu getirilerin anlamlı olup olmadığını ve dolayısıyla gerçekten anormal olup olmadığını belirlemek için bir hipotez testi kullanılır. Böylece: $\text{CAR}$ $i$ $T_1$ $T_2$

$H_0 : \text{CAR}_i = 0$ ; burada

$\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$ ve

$\mathbb{E}[r_{i,t}]$ , model tarafından öngörülen varlığın getirisidir.

Gözlem sayımız yeterince büyükse, varlık getirilerinin dağılımının asimptotik normallik olduğunu varsayabiliriz, ancak bu daha küçük bir örneklem büyüklüğü için doğrulanamayabilir.

Bu nedenle, tek firma, tek olaylı çalışmaların (örneğin davada gerektiği gibi) Bayesci bir yaklaşımı izlemesi gerektiği söylenebilir, çünkü sonsuz sayıda tekrarlama varsayımı, durumdan çok "doğrulanmaktan daha ileri" dir. birden fazla firma. Ancak, sık görüşlü yaklaşım yaygın bir uygulama olmaya devam etmektedir.

Bu konudaki az sayıdaki literatür göz önüne alındığında, sorum Bayesci bir yaklaşım kullanarak yukarıda özetlenen ve MacKinlay, 1997'de özetlenen metodolojiye benzer bir olay çalışmasına en iyi nasıl yaklaşılacağıdır.

Her ne kadar bu soru ampirik şirket finansı bağlamında ortaya çıksa da, gerçekte Bayesci regresyon ve çıkarım ekonometrisi ve sık ve Bayesci yaklaşımların ardındaki akıl yürütme farklılıklarıyla ilgilidir. özellikle:

Bir Bayes yaklaşımı kullanarak model parametrelerinin tahminine en iyi nasıl yaklaşmalıyım (Bayesian istatistiklerinin teorik olarak anlaşıldığını varsayarsak, ancak ampirik araştırma için kullanma konusunda çok az deneyimim var veya hiç deneyim yok).
Kümülatif anormal getiriler hesaplandıktan sonra (modelden normal getirileri kullanarak) istatistiksel önemi nasıl test edebilirim?
Matlab'da bu nasıl uygulanabilir?

bayesian econometrics finance

— Constantin
kaynak

(1.) basit: Bayes doğrusal regresyon kullanın . (2.) daha zordur, çünkü anlam testi Bayesli bir şey değildir. Yapabileceğiniz tek şey, farklı modellerin olasılığını karşılaştırmaktır ve bir modelin temeli değildir, çünkü bir model parametresi değildir. amacı nedir ? Buna dayanarak hangi kararlar alınır?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

İncelenen olayın hisse senedi fiyatı üzerinde bir etkisi olduğu varsayımımı destekleyen kanıtlar arıyorum (bu durumda sıfırdan farklıdır, çünkü olay penceresinde normal geri dönüşe göre hesaplanır. etkinlikten önceki referans dönemi için hesaplanır). Verilerin sıfır olmayan bir ve aynı zamanda büyüklüğündeki hipotezi destekleyip desteklemediğiyle ilgileniyorum . İstatistiksel anlamın gerçekten Bayesci istatistiklerde bir şey olmadığını, ancak bu yöntemin hangi yorumu sunduğunu anlıyorum. Bir hipotez testi eşdeğeri uygulayabilir miyim?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Constantin

Bayesci yaklaşımın boyutlu küçük numuneler için daha uygulanabilir olduğunu iddia etmek istiyorsanız, daha önce böyle bir örnekle çok yüksek sesle konuşulması kaçınılmazdır.

n = 1

$n=1$

— StasK

Önceden bilgilendirici olamaz mıyım?

— Constantin

Yanıtlar:

Yorumlarda belirtildiği gibi, aradığınız model Bayes lineer regresyonudur . Ve herhangi bir zaman için posterior tahmini prediktif hesaplamak için için , dağılımını sayısal olarak değerlendirebiliriz . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

Mesele şu ki, üzerinden bir dağılımın gerçekten istediğiniz şey olduğunu düşünmüyorum . En acil sorun olasılık sıfırına sahip olmasıdır. Temel sorun, "hipotez testlerinin Bayes versiyonunun" modelleri Bayes faktörü üzerinden karşılaştırmasıdır , ancak bu iki rakip modeli tanımlamanızı gerektirir. Ve model değildir (veya en azından aşırı derecede doğal olmayan bir hokkabazlık olmayan model değildir). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

Yorumlarda söylediklerinizden, aslında cevaplamak istediğiniz şeyin

Are ve daha iyi aynı model veya farklı olanları ile açıklanabilir? $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Düzenli bir Bayes cevabı olan: iki model tanımlayın

$M_0$ : içindeki tüm veriler aynı çizilir. Bu modelin marjinal olasılığını , bir uygun marjinal olasılığını hesaplarsınız veri. $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
$M_1$ : ve içindeki veriler iki farklı BLR'den alınmıştır. Bu modelin marjinal olasılığını M_1) hesaplamak için BLR'leri ve bağımsız olarak (aynı hiperparametreleri kullanıyor olsa da!), ardından iki BLR marjinal olasılığının çarpımını alın. $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Bunu yaptıktan sonra Bayes faktörünü hesaplayabilirsiniz.

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

hangi modelin daha inandırıcı olduğuna karar vermek.

— Andy Jones
kaynak

Etkinlik dönemi için ayrı bir modelin doğrudan özel araştırma sorum için geçerli olacağını düşünmüyorum, çünkü etkinlik penceresi sırasında geri dönüşü açıklamak için ekleyebileceğim başka bir risk faktörü yok. Olayı, varlık fiyatlandırma modelimden normal getiriye göre bir rahatsızlık olarak görüyorum, bu yüzden iki modeli karşılaştırmak gerçekten mümkün değil. için bir güven aralığı oluşturmak mümkün değil mi? Bu şekilde 0'ın ML tahmini hakkında belirli bir aralıkta olup olmadığını inceleyebilirim, değil mi?

C A R

$CAR$

— Constantin

Bayes güven aralıklarının bir çeşidi güvenilir bir aralıktır ve evet bir tane oluşturmak için dağıtımını kullanabilirsiniz. Bu bir hipotez testi değil.

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones

Ben aynı modeli / farklı modeller şey kötü açıklamış olabilir düşünüyorum - yukarıda, "farklı model" ile kastettiğim "farklı parametreler" oldu. In , parametrelerin bir set tüm verileri açıklamak için kullanılır. In , parametrelerin bir set eğitim verilerini açıklamak için kullanılır ve başka bir test verilerini açıklamak. Her ne kadar, çünkü bu adil bir karşılaştırma iki kez verilere sığabilecek pek çok parametre olarak (onun marignal olasılığını artırarak) vardır, bu (kendi marjinal olasılığını cezalandırmaktadır) öncesinde birçok parametre olarak iki kez çizer.

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

— Andy Jones

Tamam, konsepti anladım. Gerçekten zarif görünüyor. İki modeli tam olarak nasıl belirtirim? Özellikle çalışmak için herhangi bir literatür veya ilgili kavram önerebilir misiniz?

— Constantin

Tartışmalı olmakla birlikte, Bayes noktası sıfır veya keskin hipotez testi gibi bir şey vardır. Sadece önce süreksiz olan basit oran oranlarıdır . Çoğu model sürekli ve ayrık önceliklerin bir karışımı için iyi bir gerekçe sunmadığından bu tartışmalıdır. Olay çalışmaları bu kurala olası bir istisnadır.

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

— jayk

Tek bir firma ile etkinlik çalışması yapamazsınız.

Ne yazık ki herhangi bir etkinlik çalışması için panel verilerine ihtiyacınız var. Olay çalışmaları, olaylardan önce ve sonra bireysel zaman dönemleri için getirilere odaklanır. Etkinlikten önceki ve sonraki zaman periyodu başına birden fazla sağlam gözlem olmadan, gürültüyü (firmaya özgü değişiklik) olayın etkilerinden ayırt etmek imkansızdır. Sadece birkaç firmada bile, StasK'ın işaret ettiği gibi, gürültü olaya hakim olacak.

Olduğu söyleniyor, birçok firmanın paneli ile Bayesian çalışması yapabilirsiniz.

Normal ve anormal getiriler nasıl tahmin edilir?

Normal getiriler için kullandığınız modelin standart bir arbitraj modeline benzediğini varsayacağım. Değilse, bu tartışmanın geri kalanını uyarlamanız gerekir. Duyuru tarihine ( göre tarih için bir dizi aptalla "normal" dönüş regresyonunuzu artırmak istersiniz : $S$

r_{i t} = α_{i} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{i} + e_{i t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

EDIT: yalnızca ise dahil edilmelidir . Bu yaklaşımdaki bu sorunla ilgili bir sorun, olaydan önce ve sonra verilerle bilgilendirilmesidir. Bu, beklenen getirilerin yalnızca olaydan önce hesaplandığı geleneksel olay çalışmalarıyla tam olarak eşleşmez. $\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Bu regresyon, genellikle gördüğümüz CAR serisine benzer bir şey hakkında konuşmanıza izin verir, burada bir olaydan önce ve sonra bazı standart hataları olan bir ortalama anormal getiri grafiğimiz vardır:

resim açıklamasını buraya girin

( utanmadan Wikipedia'dan alınmıştır )

Muhtemelen normal olarak dağıtılan 'ler için bazı varyans-ko-varyans yapısına sahip bir dağıtım ve hata yapısı . Daha sonra , ve için önceki bir dağıtım ve yukarıda belirtildiği gibi Bayesian doğrusal regresyonu çalıştırabilirsiniz. $e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$

Duyuru etkilerinin incelenmesi

Duyuru tarihinde bazı anormal getiriler olabileceğini düşünmek mantıklıdır ( ). Yeni bilgiler piyasaya sürüldü, bu nedenle reaksiyonlar genellikle herhangi bir arbitraj veya verimlilik teoreminin ihlali değildir. Ne sen ne de ben, ne tür duyuru etkilerinin olacağını bilmiyoruz. Her zaman çok fazla teorik rehberlik yoktur. Bu yüzden testi , elimizde olandan çok daha spesifik bilgi gerektirebilir (aşağıya bakınız). $\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$

Ancak Bayesci analizin cazibesinin bir kısmı, tüm arka dağılımını inceleyebilmenizdir . Bu, "Açıklamanın fazla getirisinin negatif olması muhtemel mi?" Gibi bazı ilginç soruları yanıtlamanıza olanak tanır. Dolayısıyla, duyuru tarihinde anormal getiriler için katı hipotez testlerinden vazgeçmenizi öneririm. Zaten onlarla ilgilenmiyorsunuz - çoğu etkinlik çalışmasında, bir duyuruya verilen fiyat tepkisinin ne olabileceğini değil, ne olduğunu bilmek istiyorsunuz! $\gamma_0$

Bu bağlamda, posteriorlarınızın ilginç bir özeti olasılığı olabilir . Bir diğeri, çeşitli eşik değerlerinden daha yüksek olma olasılığı veya için arka dağılımın . Sonunda her zaman posteriorunu ortalama, medyan ve mod ile birlikte . Fakat yine de katı hipotez testleri istediğiniz gibi olmayabilir. $\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Ancak, duyuru öncesi ve sonrası tarihler için, katı hipotez testleri önemli bir rol oynayabilir, çünkü bu getiriler güçlü ve yarı güçlü form verimliliği testleri olarak görülebilir.

Yarı güçlü form verimliliğinin ihlali için test

Yarı güçlü form etkinliği ve işlem maliyetlerinin yokluğu, hisse fiyatlarının olayın açıklanmasından sonra ayarlanmaya devam etmemesi gerektiğini gösterir. Bu, olan keskin hipotezlerin kesişimine karşılık gelir . $\gamma_{s> 0}=0$

bu formun "keskin" testler denilen testlerinden rahatsızlar . Neden? Bunu bir saniyeliğine finans bağlamından çıkaralım. Ben Amerikan vatandaşlarının ortalama gelirin üzerinde bir önceki oluşturmak üzere sorsam, muhtemelen bana sürekli dağılımını verecek belki zirveye çıkar, olası kazançları üzerinden 60,000. Daha sonra Amerikan gelirlerinin bir örneğini aldıysanız ve nüfus ortalamasının tam olarak olduğu hipotezini test etmeyi denerseniz, Bayes faktörü kullanırsınız: $\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$

P (\bar{x} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{x} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}{\int_{\bar{x} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

Üstteki integral sıfırdır, çünkü sürekli önceki dağılımdan tek bir nokta olasılığı sıfırdır. Alttaki integral 1 olur, bu nedenle . Bu , Bayes çıkarımının doğası için gerekli olan herhangi bir şeyden değil , sürekli olandan kaynaklanır. $P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

Birçok yönden olan testler varlık fiyatlandırma testleridir. Varlık fiyatlandırması Bayesliler için tuhaf. Neden garip? Çünkü, önceki gelirlerimin aksine, bazı verimlilik hipotezlerinin sıkı bir şekilde uygulanması , olaydan sonra tam olarak 0'ın kesişmesini öngörüyor . Herhangi bir pozitif veya negatif , yarı güçlü form verimliliğinin ihlali ve potansiyel olarak büyük bir kar etme fırsatıdır. Dolayısıyla, geçerli bir önceki değer pozitif olasılık verebilir . Tam olarak Harvey ve Zhou'da (1990) alınan yaklaşım budur . Daha genel olarak, iki bölümden oluşan bir önceliğiniz olduğunu düşünün. olasılığı ile güçlü form verimliliğine ( $\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_{s>0} =0$ $p$ $\gamma_{s\neq 0} =0$ ) ve olasılıkla güçlü form verimliliğine inanmıyorsunuz. Güçlü form verimliliğinin yanlış olduğunu , üzerinde sürekli bir dağılım olduğunu düşünüyorsunuz , . Ardından Bayes faktör testini oluşturabilirsiniz: $1-p$ $\gamma_{s>0}$ $f$

P (γ_{s > 0} = 0 | data) = \frac{P (data | γ_{s > 0} = 0) p}{\int_{γ_{s > 0} \neq 0} P (data | γ_{s > 0}) (1 - p) f (γ_{s > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

Bu test çalışır çünkü güçlü formun doğru $\gamma_{s>0}=0$ olması koşuluyla olduğunu bilirsiniz . Bu durumda öncekiniz artık sürekli ve ayrık dağılımların bir karışımıdır.

Keskin bir testin mevcut olması, daha ince testler kullanmanızı engellemez. dağılımını için önerdiğim gibi . Bu, özellikle işlem maliyetlerinin mevcut olmadığı inancına bağlı olmadığından daha ilginç olabilir. Güvenilir aralıklar oluşturulabilir ve işlem maliyetleri hakkındaki inançlarınıza dayanarak aralıklarına dayalı model testleri yapabilirsiniz . Brav'ı (2000) takiben , Bayes ve sık kullanılan yöntemler arasında bir köprü olarak gerçek getirilerle karşılaştırmak için "normal" dönüş modeline ( ) dayalı tahmin yoğunlukları da olabilir . $\gamma_{s> 0}$ $\gamma_{s=0}$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_s=0$

Kümülatif anormal getiriler

Şimdiye kadar her şey anormal getiriler üzerine bir tartışma oldu. Bu yüzden çabucak CAR'a gireceğim:

{CAR}_{τ} = \sum_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

Bu, alışık olduğunuz kalıntılara dayalı ortalama kümülatif anormal getirilere yakın bir karşılıktır. Posterior dağılımı, öncekine bağlı olarak sayısal veya analitik entegrasyon kullanarak bulabilirsiniz. Varsaymak için hiçbir neden yoktur çünkü , varsaymak için hiçbir neden yoktur Hiçbir keskin hipotez testi ile, duyuru etkileri ile aynı analizini savunacağını yüzden. $\gamma_0=0$ $\text{CAR}_{t>0}=0$

Matlab'da nasıl uygulanır

Bu modellerin basit bir sürümü için, düzenli olarak eski Bayes lineer regresyonuna ihtiyacınız var. Matlab kullanmıyorum ama burada bir versiyon var gibi görünüyor . Bu sadece konjugat öncelikleri ile çalışır.

Daha karmaşık sürümler, örneğin keskin hipotez testi için muhtemelen bir Gibbs örnekleyicisine ihtiyacınız olacaktır. Matlab için hazır çözümlerin farkında değilim. JAGS veya BUGS arabirimlerini kontrol edebilirsiniz.

— jayk
kaynak

Bu kapsamlı ve çok yardımcı cevap için teşekkürler! İlk nokta hakkında: Bu sadece belirli bir firma üzerinde belirli bir mevzuat yürürlüğe ilgilenen olsam bile durum var mı (yani sadece az sayıda için olay etkisi firma $n\geq 1$ )? Bu durumda örneklem büyüklüğünü arttırmak gerekirse, kaç firma gerekir ve bunları nasıl seçmeliyim?

— Constantin

Belirli bir mevzuatın etkisini bulmak mümkün olmayabilir. Belirli bir endüstriye uygulanan bir yasa ise, endüstri eğilimlerini mevzuattan ayırmak zor olacaktır. Mümkünse kesinlikle 30'dan fazla firma öneririm. Önceden ve posteriorunuzun çok farklı olup olmadığını her zaman kontrol edebilirsiniz. Posteriorunuz öncekinden çok fazla değişmediyse, örnekleminizin boyutu çok küçük olabilir.

— jayk

Etkinlik öncesi / sonrası tarihlerinde kukla değişkenler kullanan bir etkinlik çalışması için bana referans verebilir misiniz? Bu metodolojiyi şimdiye kadar literatürde bulamadım. Çok takdir ediyorum!

— Constantin

Hiç görmedim, ama yöntem bağlamında mantıklı geliyor (üzerine koyduğum uyarılarla). Alternatif olarak, ön duyuru tarihlerindeki parametrelerinizi tahmin etmek ve daha sonra yukarıda bahsettiğim Brav makalesinde olduğu gibi ileriye dönük geri dönüşleri üretmek için posterioru kullanmak olacaktır.

— jayk