Yeterlilik veya Yetersizlik

Rasgele örnek düşünün iid rastgele değişkenler . için yeterli bir istatistik olup olmadığını kontrol edin . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

İlk olarak, dağıtımını nasıl bulabiliriz ? Yoksa ve sonra takip edecek mi? Bence değil çünkü tüm değişkenlerin burada bağımsız olmadığını unutmayın. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Alternatif olarak, sadece ortak PMF dikkate alınarak çarpanlara durum kullanır ise daha sonra burada . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Bu, yeterli olmadığını gösterir . $T$

Peki ya tanımı takip etmek ve bu oranın bağımsız olup olmadığını kontrol etmek için uygulamak istersem ne olur ? O zaman dağılımını bilmeliyim . O halde, nedir? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
kaynak

İpucu: un tam dağılımını bilmenize gerek yoktur . Örneğin örneğini düşünün : nin koşullu olasılık dağılımı nedir?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Eğer , sonra . Bu yüzden bağlı olan , doğru mu?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

Bu doğru fikir - ama neden iki olasılığı eklediğinizi anlamıyorum. bir vektör değil mi? (İsterseniz, un tam dağılımını bulmak için aynı tür hesaplamaları kullanabilirsiniz (sadece değerlerine ulaşabilir ), ancak bu artık gerekli değil, değil mi? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Evet, doğru. Teşekkürler! Bu yüzden bu oranın en az bir örnek için bağımsız olmadığını gösterdikten sonra işimiz bitti! Teşekkür ederim. HAPPY NEW YEAR :)

p

$p$

— Landon Carter

Evet bir vektördür, ancak daha da önemlisi ve olasılık . Yanlışım varsa lütfen düzelt.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Ben "whuber" ile bir tartışma vardı ve belki herhangi bir örnek noktaya bakmak için (doğru?) Bir ipucu var: değerlendirme o örnek noktasında ve bu oranın parametreden bağımsız olup olmadığını kontrol edin, bu durumda . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

O halde sonra . Bu yüzden değerini değerlendiriyoruz. Şimdi,İid özelliği nedeniyle,Ayrıca $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Bu nedenle açıkça bağımlıdır ve bu nedenle yeterli bir istatistik değildir.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
kaynak