Negatif binom dağıtılmış değişkenler arasındaki farkı tanımlayan dağılım?

Bir skellam dağılımı Poisson dağılımına sahip iki değişken arasındaki farkı açıklar. Negatif binom dağılımlarını takip eden değişkenler arasındaki farkı tanımlayan benzer bir dağılım var mı?

Verilerim bir Poisson süreci tarafından üretiliyor, ancak dağıtımda aşırı dağılmaya yol açan adil miktarda gürültü içeriyor. Bu nedenle, verilerin negatif binom (NB) dağılımı ile modellenmesi iyi sonuç verir. Bu NB veri kümelerinin ikisi arasındaki farkı modellemek istersem seçeneklerim nelerdir? Eğer yardımcı olursa, iki set için benzer araçlar ve varyanslar varsayalım.

Bu dağılımın adını bilmiyorum ama sadece toplam olasılık yasasından türetebilirsiniz. Varsayalım her bir parametre ile negatif binom dağılımlarına sahip ( R 1 , s 1 ) ve ( r 2 , s 2 ) , sırasıyla,. X , Y sırasıyla r 1 've r 2 ' başarısızlıklarından önce elde edilen başarı sayısını temsil eden parametrelendirmeyi kullanıyorum . Sonra,$X, Y$$(r_{1}, p_{1})$$(r_{2}, p_{2})$$X,Y$$r_{1}$$r_{2}$

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

Biliyoruz

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

ve

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

yani

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

Bu hoş değil (evet!). Hemen gördüğüm basitleştirme

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

which is still pretty ugly. I'm not sure if this is helpful but this can also be re-written as

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

I'm not sure if there is a simplified expression for this sum but it could be approximated numerically if you only need it to calculate $p$-values

I verified with simulation that the above calculation is correct. Here is a crude R function to calculate this mass function and carry out a few simulations

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

I've found the sum converges very quickly for all of the values I tried, so setting UB higher than 10 or so is not necessary. Note that R's built in rnbinom function parameterizes the negative binomial in terms of the number of failures before the $r$'th success, in which case you'd need to replace all of the $p_{1}, p_{2}$'s in the above formulas with $1-p_{1}, 1-p_{2}$ for compatibility.

Yes. skewed generalized discrete Laplace distribution is the difference of two negative binomial distributed random variables. For more clarifications refer the online available article "skewed generalized discrete Laplace distribution" by seetha Lekshmi.V. and simi sebastian