Ne zaman bir çok değişkenli rasgele değişken sahip bir dejenere olmayan bir kovaryans matrisi Cı = ( γ i j ) = ( Cov ( X i , X, j ) ) , tüm gerçek lineer kombinasyonları kümesi X i , bir oluşturur , n baz ile boyutlu gerçek vektör alanı E = ( X 1 , x 2 , ... ,( X1, X2, … , Xn)C =( γben j) = ( Cov ( Xben, Xj) )XbennE= ( X1, X2, … , Xn) ve tarafından verilen dejenere olmayan bir iç ürün
⟨Xi,Xj⟩=γij .
Bu çift baz , bu iç ürüne göre , , benzersiz ilişkileri ile tanımlanırE∗=(X∗1,X∗2,…,X∗n)
⟨X∗i,Xj⟩=δij ,
Kronecker deltası ( i = j ve aksi halde 0 olduğunda ).1i=j0
Kısmi korelasyon nedeniyle ikili temeli burada ilgi olduğunu ve X j parçası arasındaki korelasyon olarak elde edilir X i uzaya yansıtırken diğer bütün vektörler tarafından yayılmış sonra bırakılır (sade diyelim onun " "kalıntı, X i ∘ ) ve karşılaştırılabilir kısmı X- j , kalıntı x j ∘ . Yine X * ı dışındaki tüm vektörler ortogonal olan bir vektör olan , X i ve pozitif iç çarpım sahip X- ı nereden X iXiXjXiXi∘XjXj∘X∗iXiXiXi∘ must be some non-negative multiple of X∗i, and likewise for Xj. Let us therefore write
Xi∘=λiX∗i, Xj∘=λjX∗j
for positive real numbers λi and λj.
The partial correlation is the normalized dot product of the residuals, which is unchanged by rescaling:
ρij∘=⟨Xi∘,Xj∘⟩⟨Xi∘,Xi∘⟩⟨Xj∘,Xj∘⟩−−−−−−−−−−−−−−−−√=λiλj⟨X∗i,X∗j⟩λ2i⟨X∗i,X∗i⟩λ2j⟨X∗j,X∗j⟩−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=⟨X∗i,X∗j⟩⟨X∗i,X∗i⟩⟨X∗j,X∗j⟩−−−−−−−−−−−−−−√ .
(In either case the partial correlation will be zero whenever the residuals are orthogonal, whether or not they are nonzero.)
We need to find the inner products of dual basis elements. To this end, expand the dual basis elements in terms of the original basis E:
X∗i=∑j=1nβijXj .
Then by definition
δik=⟨X∗i,Xk⟩=∑j=1nβij⟨Xj,Xk⟩=∑j=1nβijγjk .
In matrix notation with I=(δij) the identity matrix and B=(βij) the change-of-basis matrix, this states
I=BC .
That is, B=C−1, which is exactly what the Wikipedia article is asserting. The previous formula for the partial correlation gives
ρij⋅=βijβiiβjj−−−−−√=C−1ijC−1iiC−1jj−−−−−−√ .