Eğer

İşte üniversitemizde bir kaç yıl önce çözmek için mücadele ettiğim bir sınava giren bir problem.

Eğer $X_1,X_2$ bağımsızlar $\beta$ yoğunluklu rastgele değişkenler $\beta(n_1,n_2)$ ve $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ sırasıyla sonra göstermek $\sqrt{X_1X_2}$ şu $\beta(2n_1,2n_2)$ .

Yoğunluğunu elde etmek için Jacobian yöntemini kullandım. $Y=\sqrt{X_1X_2}$ Şöyleki:

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Aslında bu noktada kayboldum. Şimdi, ana makalede, bir ipucu verildiğini buldum. İpucunu kullanmaya çalıştım ama istenen ifadeleri alamadım. İpucu şu şekilde kelimedir:

İpucu: Yoğunluğu için bir formül elde edin. $Y=\sqrt{X_1X_2}$ verilen yoğunluklar açısından $X_1$ ve $X_2$ ve bir değişken değişikliği ile $z=\dfrac{y^2}{x}$ .

Bu noktada, bu değişkeni dikkate alarak bu ipucunu kullanmaya çalışıyorum. Bu yüzden anladım,

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$ bu basitleştirmeden sonra ortaya çıkıyor (yazma

x

$x$ için

z

$z$ )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Nasıl ilerleyeceğimi gerçekten bilmiyorum. İpucu hakkında doğru yorum yaptığımdan bile emin değilim. Her neyse, ipucunun geri kalanı burada:

Değişken değişimini kullanarak gözlemleyin. $z=\dfrac{y^2}{x}$ , gerekli yoğunluk ortalaması alınarak iki şekilde ifade edilebilir
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ Şimdi entegrasyon aralığını $(y^2,y)$ ve $(y,1)$ ve yaz $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ ve devam et $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$ .

Dürüst olmak gerekirse, birinin bu ipuçlarını nasıl kullanabileceğini anlayamıyorum: Görünüşe göre hiçbir yere varamıyorum. Yardım takdir edilir. Şimdiden teşekkürler.

— Landon Carter
kaynak

Daha önce bazı referansları derlediğim benzer bir sorun gördüm. Bkz. Arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— Sid

@ Üzgünüm ama bu referanslarda veya benzer bir şeyde bu sorunu bulamadım. Mekanlara dikkat çeker misiniz? Teşekkürler!!

— Landon Carter

Jacobian yöntemini doğru uyguladığınızdan emin misiniz? Eğer yaparsam, anladım:

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$ Bence ikiye katlama formülüne de ihtiyacınız olacak

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$ , bkz. en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

— StijnDeVuyst

Görünüşe göre formüller aynı. Belki de değişken değişikliğini kullanmak zorundasınız

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$ benimkini elde etmek için formülünüzde. Jacobian'dan bahsediyorum.

— Landon Carter

Aynı olduklarını sanmıyorum. Formülümde bahsettiğiniz değişken değişikliğini yaparak, OP'nizin ilk integralinde sahip olduğunuzdan biraz daha basit bir şey elde ederim.

— StijnDeVuyst

Bunu, moment üreten işlevleri kullanarak farklı bir şekilde kanıtlarım. Veya eşdeğer olarak, $q$ bu an $\sqrt{X_1X_2}$ eşittir $q$ rastgele bir değişkenin anı $B$ ile $\beta(2n_1,2n_2)$ dağılımı. Bu herkes için böyleyse $q=1,2,\ldots$ , o zaman moment probleminin gücü ile egzersiz kanıtlanmıştır.

Son kısımda için, elde ettiğimiz http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments o $q$ bu an $B$ dır-dir

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$ Şimdi ilk bölüm için:

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Now all that remains is to apply the definition

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ and then the doubling formula

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$ . It then turns out that the first part and the second part are exactly the same.

— StijnDeVuyst
kaynak

I do not think you can say that equality of moments implies equality of distribution. There are examples where this may not hold.

— Landon Carter

StijnDeVuyst, sorry this is not an acceptable answer. I do have an example where the moments are equal but the distributions are not the same. The example is a bit complicated though. Regrettably I do not have the example with me now; it also came in one semester exam. But soon I will post the example in this thread if you are interested. Anyway I have worked the problem out myself. Thanks for your help.

— Landon Carter

@yedaynara and Stijn: A (the?) classical example is due to Heyde: Consider the pdfs

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$ where

f_{0}

$f_0$ is the pdf of the standard lognormal and

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$ . All members of this family of distributions have the same moments (of all orders). Note that the standard lognormal is a member of this family and its moments have a nice closed form.

— cardinal

There are, however, additional conditions (e.g., Carleman's) on the moments that will guarantee uniqueness of the distribution. This is known as the Hamburger moment problem.

— cardinal

Quote from web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "...It is elementary linear algebra to verify that a positive measure with finite support is uniquely determined by its moments..." That settles the Carleman condition for M-determinacy for the Beta distributions in the OP. @cardinal and yedaynara are both correct that I was too quick to assume this. But apparently the finite support is what saves the day.

— StijnDeVuyst