Standartlaştırılmış değişkenlerin kovaryansı korelasyon mu?

Temel bir sorum var. Diyelim ki iki rastgele değişkenim var, $X$ ve $Y$ . Ortalamayı çıkararak ve standart sapmaya bölerek onları standardize edebilirim, yani, $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$ .

Korelasyonu $X$ ve $Y$ , $Cor(X, Y)$ , standartlaştırılmış sürümlerinin kovaryansı ile aynı $X$ ve $Y$ ? Yani, $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$ ?

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
kaynak

Evet.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) x (Y - E (Y)))}{S D (X) x S D (Y)} \\ Cov (X_{standardize}, Y_{standardize}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) x (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) x (Y - E (Y)))}{S D (X) x S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ Yani evet!

— Hemant Rupani
kaynak

Ne???? İlk denkleminizin sağ tarafı rastgele bir değişkendir, sol tarafı sabittir.

— Dilip Sarwate

Errr no. Soru rastgele değişkenlerin korelasyonu ve kovaryansıyla ilgili iken, cevabınız örnek korelasyonu ve kovaryans ile ilgilidir. Örneğin, sonuç sürekli rasgele değişkenler için bekletilirken, en iyi ihtimalle sahip olduğunuz sadece değerleri alan ayrık rasgele değişkenler için geçerlidir

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$ eşit olasılıkla

\frac{1}{n}

$\frac 1n$ .

— Dilip Sarwate

Pek değil. Abonelere ihtiyacınız yok

i

$i$ hiç gitmedim, sildim ve sunumu biraz geliştirdim. Değişiklikleri beğenmediyseniz geri dönmekten çekinmeyin.

— Dilip Sarwate

SD (X) ve SD (Y) 'yi beklentileriniz dışında tutuyorsunuz. Bu adımın nedenini biraz daha açıklayınız.

— Erdoğan CEVHER

@Erdogan sabitleri, değişiklik yapılmadan Expected () işlevi dışında alınabilir.

— Hemant Rupani