Katlanmış normal dağılımdan örnekleme, normal dağılımdan örneklemeye eşdeğer mi 0'da kesilir?

Normal bir yoğunluktan benzetmek istiyorum (ortalama = 1, sd = 1 diyelim) ama sadece pozitif değerler istiyorum.

Bir yol normalden simüle etmek ve mutlak değeri almaktır. Bunu katlanmış bir normal olarak düşünüyorum.

R'de, kesik rastgele değişken üretimi için fonksiyonlar olduğunu görüyorum. Kesik bir normalden (0'da kesme) simüle edersem, bu katlanmış yaklaşıma eşdeğer midir?

Evet, yaklaşımlar sıfır ortalama Normal dağılım için aynı sonuçları verir .

Olasılıkların aralıklarla uyumlu olduğunu kontrol etmek yeterlidir, çünkü bunlar tüm (Lebesgue) ölçülebilir kümelerin sigma cebirini oluşturur. Let standart normal yoğunluğu: olasılıklarını veren bir aralık içinde bir standart normal değişme yalan Daha sonra, için. , kesilmiş olasılığı dır-dir$\Phi$$\Phi((a,b])$$(a,b]$$0 \le a \le b$

$$\Phi_{\text{truncated}}((a,b]) = \Phi((a,b]) / \Phi([0, \infty]) = 2\Phi((a,b])$$

(çünkü ) ve katlanmış olasılık$\Phi([0, \infty]) = 1/2$

$$\Phi_{\text{folded}}((a,b]) = \Phi((a,b]) + \Phi([-b,-a)) = 2\Phi((a,b])$$

yaklaşık simetrisinden dolayı .$\Phi$$0$

Bu analiz için de geçerlidir herhangi etrafında simetriktir, dağıtım ve olma sıfır olasılığına sahiptir . Ortalama sıfır ise , ancak, dağıtım değil simetrik ve iki yaklaşım yok değil aynı hesaplamalar göstermek gibi aynı sonucu verir.$0$$0$

Bu grafik, Normal (1,1) dağılım (sarı), katlanmış Normal (1,1) dağılım (kırmızı) ve kesik Normal (1,1) dağılım (mavi) için olasılık yoğunluk işlevlerini gösterir. Katlanmış dağılımın karakteristik çan eğrisi şeklini diğer ikisiyle nasıl paylaşmadığına dikkat edin. Mavi eğri (kesik dağılım), sarı eğrinin birim alana sahip olacak şekilde büyütülmüş, kırmızı eğri (katlanmış dağılım) sarı eğrinin ve negatif kuyruğunun (etrafta yansıtıldığı gibi) toplamıdır. y ekseni).

Let . Dağılımı kesinlikle aynı değildir ait.$X \sim N(\mu = 1, SD=1)$$X|X > 0$$|X|$

R'de hızlı bir test:

x <- rnorm(10000, 1, 1)
par(mfrow=c(2,1))
hist(abs(x), breaks=100)
hist(x[x > 0], breaks=100)

Bu aşağıdakileri verir.