Eklem dağılımı çok değişkenli normalse neden Pearson ρ sadece kapsamlı bir ilişki ölçüsüdür?

Bu iddia, bu sorunun . 'Neden' sorusunun yeni bir iş parçacığı gerektirmesi bakımından yeterince farklı olduğunu düşünüyorum. Google'ın "kapsamlı ilişkilendirme ölçüsü" nü aramak isabet vermedi ve bu ifadenin ne anlama geldiğinden emin değilim.

Değerler keyfi olarak yeniden ölçeklendiğinde ve yeniden girildiğinde aynı kalan tüm özelliklerden oluşan çok değişkenli bir dağıtımdaki "ilişkilendirme ölçüsü" nü anlamak en iyisi olabilir . Bunu yapmak, araçları ve varyansları teorik olarak izin verilen herhangi bir değere değiştirebilir (varyanslar pozitif olmalıdır; araçlar herhangi bir şey olabilir).

Korelasyon katsayıları ("Pearson ") daha sonra çok değişkenli bir Normal dağılımı tamamen belirler. Bunu görmenin bir yolu, yoğunluk fonksiyonu veya karakteristik fonksiyon için formüller gibi herhangi bir formül tanımına bakmaktır. Sadece araçlar, varyanslar ve kovaryanslar içerirler - ancak varyansları bildiğinizde kovaryanslar ve korelasyonlar birbirinden çıkarılabilir.$\rho$

Çok değişkenli Normal ailesi, bu mülke sahip olan tek dağıtım ailesi değildir. Örneğin, herhangi bir Çok Değişkenli t dağılımı ( aşan serbestlik dereceleri için ) iyi tanımlanmış bir korelasyon matrisine sahiptir ve ayrıca ilk iki anı tarafından tamamen belirlenir.$2$

Değişkenler Pearson korelasyonunun tamamen kör olduğu şekillerde ilişkilendirilebilir.

Çok değişkenli normalde, Pearson korelasyonu mümkün olan tek ilişkinin ile endekslenmesi anlamında "kapsamlı" dır.$\rho$. Ancak diğer dağılımlar için (normal marjlı olanlar için bile), korelasyon olmadan ilişki olabilir. İşte 3 normal rasgele değişkeni (x, y ve x, z) içeren bir kaç grafik; son derece ilişkilidirler (eğer bana$x$-değişken, size diğer ikisini anlatacağım ve eğer bana $y$ Sana söyleyebilirim $z$), ancak hepsi ilişkisizdir.

İlişkili ancak ilişkisiz değişkenlerin başka bir örneği:

(Burada verilerle göstermeme rağmen temel nokta dağıtımlar hakkındadır.)

Değişkenler korelasyon dahi, genel olarak Pearson korelasyon size gelmez nasıl - aynı Pearson korelasyonuna sahip çok farklı ilişkilendirme biçimleri alabilirsiniz, (ancak değişkenler çok değişkenli olduğunda, size söylersem standartlaştırılmış değişkenlerin tam olarak nasıl ilişkili olduğunu söyleyebileceğiniz korelasyon).

Bu nedenle Pearson korelasyonu, değişkenlerin ilişkilendirilme yollarını "tüketmez" - ilişkilendirilebilir, ancak ilişkisiz olabilir veya ilişkilendirilebilir ancak oldukça farklı şekillerde ilişkilendirilebilir. [İlişkinin tamamen korelasyonla yakalanma yollarının çeşitliliği oldukça büyüktür - ancak herhangi biri olursa, çok değişkenli bir normaliniz olamaz. Ancak, tartışmamdaki hiçbir şeyin bunun$\rho$ olası ilişkilendirmeyi tanımlar) başlık alıntısı bunu önerse bile çok değişkenli normal karakterize eder.]

(Çok değişkenli ilişkiyi ele almanın yaygın bir yolu copulastır. Sitede copulas ile ilgili çok sayıda soru vardır; bazılarını yararlı bulabilirsiniz)