Çapraz kovaryans matrisinin sıfır olmadığından nasıl test edilir?

Çalışmamın arka planı :

Sırasıyla ve den (ilgi değişkenleri) ve örneklediğimiz Gibbs örneklemesinde , burada ve , boyutlu rastgele vektörlerdir. Sürecin genellikle iki aşamaya ayrıldığını biliyoruz: $X$ $Y$ $P(X|Y)$ $P(Y|X)$ $X$ $Y$ $k$

Tüm örnekleri attığımız Burn-in Period. Örnekleri ve olarak belirtin . $X_1\sim X_t$ $Y_1\sim Y_t$
"Sonrası yanma" biz örnekleri ortalama süresi, istenen nihai sonuç olarak. $\bar{X} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k X_{t+i}$

Bununla birlikte, "yanma sonrası" sekansı numuneler bağımsız olarak dağıtılmaz. Bu nedenle, nihai sonucun varyansını incelemek istersem, $X_{t+1}\sim X_{t+k}$

Var [\bar{X}] = Var [\sum_{i = 1}^{k} X_{t + i}] = \frac{1}{k^{2}} (\sum_{i = 1}^{k} Var [X_{t + i}] + \sum_{i = 1}^{k - 1} \sum_{j = i + 1}^{k} Cov [X_{t + i}, X_{t + j}])

$\operatorname{Var}[\bar{X}] = \operatorname{Var}\left[\sum_{i=1}^k X_{t+i}\right] = \frac{1}{k^2}\left(\sum_{i=1}^k\operatorname{Var}[X_{t+i}] + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k \operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]\right)$

Burada terimi , olan herhangi bir için geçerli bir çapraz kovaryans matrisidir . $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$ $k\times k$ $(i,j)$ $i<j$

Örneğin,

X_{t + 1} = (1, 2, 1)^{'} X_{t + 2} = (1, 0, 2)^{'} X_{t + 3} = (1, 0, 0)^{'} X_{t + 4} = (5, 0, - 1)^{'}

$X_{t+1} = (1,2,1)'\\ X_{t+2} = (1,0,2)'\\ X_{t+3} = (1,0,0)'\\ X_{t+4} = (5,0,-1)'$

Sonra tahmin olabilir kovaryans matrisi ile $\operatorname{Cov}[X_{t+i}, X_{t+i+1}]$

\frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{3} (X_{t + i} - μ_{t + i}) (X_{t + i + 1} - μ_{t + i + 1})^{'}

$\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 (X_{t+i}-\mu_{t+i})(X_{t+i+1}-\mu_{t+i+1})'$

Şimdi ortaya çıkan tahminin sıfırdan farklı olup olmadığıyla ilgileniyorum, böylece varyans tahminime dahil etmem gerekiyor . $\operatorname{Var}[\bar{X}]$

İşte sorularım geliyor :

Bu nedenle bu örnek dan . Bu yana değişiyor, Bence ve , bu yüzden, aynı dağıtım değildir ile aynı değildir $X_{t+i}$ $P(X_{t+i}|Y_{t+i})$ $Y_{t+i}$ $X_{t+i}$ $X_{t+i+1}$ $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$ . Bu ifade doğru mu? $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$
(dizideki komşu örnekler) tahmin etmek için yeterli veriye sahip olduğumu varsayalım , kovaryans matrisinin önemli ölçüde sıfır olmayan bir matris olup olmadığını test etmenin herhangi bir yolu var mı? Genel olarak, son varyans tahminime dahil edilmesi gereken bazı anlamlı çapraz-kovaryans matrislerine rehberlik eden bir göstergeyle ilgileniyorum . $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

— TomHall
kaynak

Aslında, bu oldukça iyi bir soru gibi görünüyor; Bazı insanların benden iyi cevaplar vermek için daha iyi yerleştirileceğini düşünüyorum, bu yüzden kısa süre içinde uygun olduğunda bunu tanıtmak istiyorum (üzerine bir ödül verin). [Kısa cevaplar: 1. Bu iki kovaryans farklı. 2. Ardışık değişkenlerin ilişkili olup olmadığını test etmenize gerek yoktur (en önemsiz durumlar hariç hepsi; algoritma bağımlı değişkenler üreterek çalışır) - korelasyonu test etmekten daha ilginçtir;] ... eğer İyi cevaplar görünmüyor Bu kısa yorumları tam cevaba genişleteceğim

— Glen_b -Restate Monica

Görünüşe göre sorunuz başlık sorunuzdan çok daha geniş. Başlık sorunuza özel olarak değinen bir örnekte, kovaryans matrisinin köşegen olup olmadığını test etmeyi sağlayan Bartlett'in sferiklik testi vardır. Muhtemelen çapraz kovaryans senaryosuna uyarlamanız gerekir ("kovaryans matrisiniz" aslında gerçekten kovaryans matrisi değildir, çapraz kovaryans matrisidir; hem X_t hem de X_ { t + 1} birlikte). CC to @Glen_b.

— amip

Kovaryansların az ya da çok geometrik olarak bozulma eğiliminde olduğunu ekliyorum (daha da uzaklaştıkça); uzaklarda zamanında değerleri çok düşük bir korelasyon (sahip olma eğilimi değil o birbirine yakın bazen oldukça bağımlı olabilir iken sıfır ama büyük ölçüde göz ardı).

— Glen_b-Monica

@Tom 1. Yine de, sabit serilerle, çok uzak gecikmelerde (4 uzak değil!), ACF'ye ne olur?

$\quad$ 2. MCMC'den üretilen değerlerin nasıl çalıştığı hakkında, keyfi zaman serileri hakkında söyleyemeyeceğiniz bir şey biliyorsunuz ... bunlar Markovian . Önceki yorumlarımın en yakın gecikmelerin geometrik bozulma göstermesi gerektiğini iddia etmediğini göreceksiniz (örneğin, gecikme 4'ten 3'ten daha yüksek bir korelasyon görmenin imkansız olduğunu söylemedim). Uzaklaştıkça ACF'de geometrik çürüme eğilimi (belirli koşullar varsa) hala devam edecektir.

— Glen_b-Monica

Örnekleme süreniz çok kısaysa, çapraz kovaryans için son derece doğru tahminlere sahip değilseniz, çapraz kovaryans terimleri tahminlerinizin büyük standart hataya sahip olmasıyla uğraşmanız gerekebilir. Mevcut anlayışım göz önüne alındığında, korelasyonları test etme itirazımı daha da güçlü bir şekilde teyit edeceğim. Sıfır ve sıfır olmayan korelasyonlar için hipotez testi burada sorununuzu gidermez.

— Glen_b

$X_{t+i}$ $P(X_{t+i}|Y_{t+i})$ $Y_{t+i}$ $X_{t+i}$ $X_{t+i+1}$

$Y_{t+i} = y_1$ $Y_{t+i+1} = y_2$ $P(X_{t+i}|Y_{t+i} = y_1) \neq P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1} = y_2)$ $X$ $Y$ $\{Y_t\}$

\begin{aligned} P (X_{t}) = \int_{Y} P (X_{t} | Y_{t}) d P (Y_{t}), \end{aligned}

$\begin{align} P(X_t) = \int_{\mathcal{Y}}P(X_t|Y_t)dP(Y_t), \end{align}$

X_{t}

$X_t$

t \to \infty

$t \to \infty$

P (X_{t + i} | Y_{t + i}) = P (X_{t + i + 1} | Y_{t + i + 1})

$P(X_{t+i}|Y_{t+i}) = P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1})$

Y_{t + i}

$Y_{t+i}$

Y_{t + i + 1}

$Y_{t+i+1}$

P (Y_{t})

$P(Y_t)$

Y_{t + i} = y_{1}

$Y_{t+i} = y_1$

Y_{t + i + 1} = y_{2}

$Y_{t+i+1} = y_2$

t

$t$

$\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$ $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$

Evet, bu doğru - , yani ve $X_{t+1} \sim X_{t}$ $X_t$ $X_{t+1}$ $Y_t = 0.8\cdot Y_{t-1} + \varepsilon_t$ $\varepsilon_t \overset{iid}{\sim} N(0,1)$ $Y_t = \sum_{i=0}^t0.8^i \varepsilon_{t-i}$ $\text{Var}(Y_t) = \sum_{i=0}^t0.8^{2i} = \dfrac{1}{1-0.8^2}$ $Y_t \overset{iid}{\sim} N(0, \dfrac{1}{1-0.8^2})$ $Y_t$ $Y_{t+1}$ $Y_{t+1} \sim Y_{t}$ $X_t$

Cov [ X t + i , X t + i + 1 ] ' i (dizideki komşu örnekler) tahmin etmek için yeterli veriye sahip olduğumu varsayalım , kovaryans matrisinin önemli ölçüde sıfır olmayan bir matris olup olmadığını test etmenin herhangi bir yolu var mı? Genel olarak, son varyans tahminime dahil edilmesi gereken bazı anlamlı çapraz-kovaryans matrislerine rehberlik eden bir göstergeyle ilgileniyorum $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

$k(\cdot)$ $0$ $l_T$ $l_T$

— Jeremias K
kaynak