Ortak Komple Yeterli İstatistikler: Düzgün (a, b)

Let üzerinde düzgün dağılımı rasgele numune olduğu , . Let ve büyük ve en küçük mertebeden bir istatistik. İstatistiğin , parametresi için müştereken tam bir istatistik olduğunu gösterin . $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ $(a,b)$ $a < b$ $Y_1$ $Y_n$ $(Y_1, Y_n)$ $\theta = (a, b)$

Çarpanlara ayırma yöntemiyle yeterlilik göstermek benim için sorun değil.

Soru: Bütünlüğü nasıl gösterebilirim? Tercihen bir ipucu istiyorum.

Deneyin: I gösterebilir ima , bir parametre homojen dağılımı için, ancak iki parametre homojen dağılımı takılıp alıyorum. $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ $g(T(x)) = 0$

Ben uğraşırken çalıştı ve ortak dağılımı kullanılarak ve ama doğru yönde gidiyorum eğer hesap beni açma olduğu gibi ben emin değilim. $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ $Y_1$ $Y_n$

— emlu
kaynak

Lütfen [self-study]etiketi ekleyin ve wiki'sini okuyun . Lateks biçimlendirmeyi matematik için dolar koyarak kullanabileceğinizi unutmayın, örneğin $x$ üretir . Matematiğinizden bazılarını dizmeye çalıştım, ancak sonuçtan memnun değilseniz değiştirmekten veya geri dönmekten çekinmeyin. Sen gösterimi tercih edebilirsiniz için yerine yönelik .

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— Silverfish

Sizin için rutin analize bakalım, böylece sorunun kalbine gidebilir ve bir çözüm formüle etmenin tadını çıkarabilirsiniz. Birlikler ve üçgen farklılıkları olarak dikdörtgenler inşa etmeye gelir.

İlk olarak, ayrıntıları mümkün olduğunca basitleştiren ve değerlerini seçin . $a$ $b$ Ben : herhangi bir bileşeninin tek değişkenlik yoğunluğu sadece aralığının gösterge fonksiyonudur . $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

Let dağıtım fonksiyonu bulmak arasında . $F$ $(Y_1,Y_n)$ Tanım olarak, gerçek sayıları için bu $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

Değerleri belli ki veya herhangi durumunda veya aralığının dışında , bu yüzden hadi bu aralıkta hem farz ediyorum. (Ayrıca, önemsizlikleri tartışmaktan kaçınmak için olduğunu varsayalım .) Bu durumda olay , orijinal değişkenler açısından " , değerinden küçük veya ona eşit ve hiçbiri değerini . " Aynı şekilde, tüm yalan $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ ama hepsinin içinde olduğu durum böyle değil . $(y_1,y_n]$

Çünkü bağımsızdır, olasılıklar çarpma ve elde ve , sırasıyla, sadece belirtilen bu iki olay için. Böylece, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

Yoğunluklu karıştırılmış kısmi türevi , $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

için genel durum değişkenleri faktörü ile ölçeklendirir ve konumu . $(a,b)$ $b-a$ $a$ Böylece, , $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

Elde ettiğimiz gibi farklılaşma

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

Bütünlüğün tanımını düşünün. iki gerçek değişkenin herhangi bir ölçülebilir fonksiyonu olsun . Tanım olarak, $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

Bu beklenti herkes için sıfır olduğunda , o zaman için olduğu kesindir . $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

İşte ipucun. Let olması herhangi bir ölçülebilir fonksiyon. tarafından olarak önerilen biçimde ifade etmek istiyorum . Bunu yapmak için, tabii ki biz parçalanmalı ile . Ne yazık ki, bu her zaman tanımlanmaz . Anahtar, bu setin sıfır ölçüsüne sahip olmasıdır, böylece onu ihmal edebiliriz. $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

Buna göre, herhangi bir ölçülebilir verildiğinde , $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

Daha sonra haline gelir $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

(Görev bir şeyin sıfır olduğunu gösterdiğinde, orantılılığın sıfır olmayan sabitlerini yok sayabiliriz. Burada, sol taraftan 'yi düşürdüm .) $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

Bu uzanan hipotenüsü dik üçgen üzerinde bütünleşik olan için en ve tepe . Böyle bir üçgeni gösterelim . $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

Ergo , göstermeniz gereken şey, keyfi bir ölçülebilir fonksiyon tüm üçgenler üzerindeki integrali sıfır ise, o zaman herhangi , (neredeyse kesin olarak) ) tüm . $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

Daha fazla de, yarım düzleminde tamamen bulunan herhangi bir dikdörtgeni . Üçgenler cinsinden ifade edilebilir: $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

Bu şekilde, üst üste binen kırmızı ve yeşil üçgenleri (kahverengi kavşaklarını iki kat sayar) çıkarıp kavşaklarını değiştirdiğimizde dikdörtgen büyük üçgenden geriye kalan şeydir.

Sonuç olarak, bu tür tüm dikdörtgenler üzerindeki integralinin sıfır olduğunu hemen görebilirsiniz. $h$ Sadece olduğunda , 'nin sıfır (sıfırın bazı ölçü kümelerindeki değerlerinin dışında olması gerektiğini göstermek için kalır . Bu (sezgisel olarak açık) iddianın kanıtı, entegrasyon tanımına hangi yaklaşımı uygulamak istediğinize bağlıdır. $h(x,y)$ $y \gt x$

— whuber
kaynak

Denklem 3'ü sıfıra eşitlemeye, her iki tarafta da türevi almaya ve işaretleri değiştirmeye çalıştım (sanırım bir refleks eylemi) ama sonuçlar oldukça korkutucu görünüyor [1]. Daha makul bir yaklaşım var mı? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— mugen

Resimdeki hipotenüs boyunca uzanan daha küçük ve daha küçük üçgenlerin sonlu koleksiyonlarını düşünün ve koleksiyondaki en büyük üçgenin çapı sıfıra inerken sınırı alın.

— whuber