-algebra'nın Koşullu Beklentisi için Sezgi


20

Let rastgele değişken verilen, bir olasılık uzay ve \ Sigma cebiri \ mathscr {G} \ subseteq \ mathscr {F} şartlı beklenti olan yeni bir rastgele değişken E [\ xi | \ mathscr {G}] oluşturabiliriz.( Ω , F , μ ) (Ω,F,μ)ξ : Ω Rξ:ΩR σ σGFGF E [ ξ | G ]E[ξ|G]


E [\ xi | \ mathscr {G}] hakkında düşünme sezgisi tam olarak nedir E [ ξ | G ]E[ξ|G]? Aşağıdakiler için sezgiyi anlıyorum:

(i) E [ ξ | A ]E[ξ|A] burada birA bir olaydır (pozitif olasılıkla).

(ii) E [ ξ | η ]E[ξ|η] burada ηη , ayrık rasgele bir değişkendir.

Ancak E [\ xi | \ mathscr {G}] 'i görselleştiremiyorum E[ξ|G]E[ξ|G]. Matematiğini anlıyorum ve görselleştirebileceğimiz daha basit vakaları genelleştirecek şekilde tanımlandığını anlıyorum. Ancak yine de bu düşünce tarzını faydalı bulmuyorum. Benim için gizemli bir nesne olmaya devam ediyor.


Örneğin, A \ mu (A)> 0birA ile bir olay olsun . Form \ Sigma cebiri \ mathscr {G} = \ {\ emptyset, A, A ^ c \ omega \} , tarafından oluşturulan bir A . Daha sonra D [\ xi | \ mathscr {G}] (\ omega) eşit olacaktır \ frac {1} {\ u, (A)} \ int_A \ xi ise \ omega \ A , ve eşit \ frac {1 } {\ u (A ^ c)} \ int_ {A ^ c} \ xi ise \ omega \ olmayan \ A . Diğer bir deyişle, E [\ xi | \ mathscr {G}] (\ omega) = E [\ xi | A] durumunda \ omega \ A ve D [\ xi | \ mathscr {G}] (\ omega) = E [\ xi | A ^ c] eğer A ^ c içinde \ omega \ ise .μ ( A ) > 0μ(A)>0σσG = { , A , A c , Ω }G={,A,Ac,Ω}birAE [ ξ | G ] ( ω )E[ξ|G](ω)1μ ( A )Aξ1μ(A)Aξω AωA1μ ( A c )Acξ1μ(Ac)Acξω AωAE [ ξ | G ] ( ω ) = E [ ξ | A ]E[ξ|G](ω)=E[ξ|A]ω AωAE[ξ|G](ω)=E[ξ|Ac]E[ξ|G](ω)=E[ξ|Ac]ωAcωAc

Kafa karıştırıcı olan kısım ωΩωΩ , neden sadece E[ξ|G](ω)=E[ξ|Ω]=E[ξ]E[ξ|G](ω)=E[ξ|Ω]=E[ξ] ? Neden E[ξ|G]E[ξ|G] yerine E[ξ|A or Ac]E[ξ|A or Ac] bağlı olup olmadığını ωAωA , ama yerine izin E[ξ|G]E[ξ|G] ile E[ξ]E[ξ] ?


Not. Bu soruya yanıt verirken, koşullu beklentinin titiz tanımını kullanarak bunu açıklamayın. Onu anlıyorum. Anlamak istediğim, koşullu beklentinin ne hesaplaması gerektiği ve neden birini diğerinin yerine reddettiğimiz.

Yanıtlar:


16

Koşullu temsil düşünmek bir yolu üzerine bir çıkıntı gibidir cebiri .σσGG

enter image description here( Wikimedia müştereklerinden )

Bu, kareye entegre rastgele değişkenlerden bahsederken gerçekten titizlikle doğrudur; bu durumda aslında rasgele değişkeninin göre ölçülebilen rasgele değişkenlerden oluşan alt . Ve aslında bu bile bazı anlamda gerçek olarak çıkıyor ile yakınlaştırılması yoluyla rastgele değişkenlerin rasgele değişkenler.E [ ξ | G ] E[ξ|G]ξ ξL 2 ( Ω ) L2(Ω)G GL 1 L1L 2L2

(Referanslar için yorumlara bakın.)

Eğer ne kadar bilgimiz olduğunu (stokastik süreçler teorisinde katı olan bir yorum) temsil ettiği düşünülürse, daha büyük daha olası olaylar ve dolayısıyla olası sonuçlar hakkında daha fazla bilgi anlamına gelirken, daha küçük daha az olası olay anlamına gelir ve dolayısıyla olası sonuçlar hakkında daha az bilgi anlamına gelir.σ - σ - σ -σσσ

Bu nedenle, çıkıntı -measurable rastgele değişken küçük üzerine cebir değerinin en iyi tahmin alma vasıtasının temin edilebilen daha sınırlı bilgi verilmektedir .F ξ σ - G ξ GFξσGξG

Başka bir deyişle, sadece bilgi verilecektir ve bilgilerin tamamı değil , elimizden geleni titiz anlamda olduğu rasgele değişkeninin ne olduğunu tahmin etmek mümkün .G F E [ ξ | G ] ξGFE[ξ|G]ξ


Örneğinizle ilgili olarak, rastgele değişkenleri ve değerlerini karıştırıyor olabileceğinizi düşünüyorum. Rastgele bir değişken , alanı olay alanı olan bir fonksiyondur ; bu bir sayı değil. Başka bir deyişle, , , , .X X : Ω R X { f | f : Ω R } ω Ω X ( ω ) RXX:ΩR  X{f | f:ΩR}ωΩX(ω)R

Bence şartlı beklenti için gösterim gerçekten kötü, çünkü rastgele bir değişken, yani bir işlev . Aksine, rastgele bir değişkenin (düzenli) beklentisi bir sayıdır . Rastgele bir değişkenin koşullu beklentisi, aynı rastgele değişkenin beklentisinden tamamen farklı bir miktardır, yani ile "tip kontrolü" bile yapmaz .E [ ξ | G ] E [ ξ ]E[ξ|G]E[ξ]

Başka bir deyişle, hem düzenli hem de koşullu beklentiyi belirtmek için sembolünü kullanmak, gösterimin çok büyük bir kötüye kullanımıdır ve bu da çok fazla karışıklığa yol açar.EE

Tüm söylenenler, bir sayıdır (rastgele değişken ) değerinde değerlendirildi , ancak rastgele bir değişkendir, ancak sabit bir rastgele değişken (yani önemsiz dejenere) olduğu ortaya çıkmaktadır, çünkü -algebra , tarafından üretilen önemsiz / dejenere olur ve daha sonra teknik olarak bu sabit rastgele değişkenin sabit değerini , buradaE [ ξ | G ] ( ω ) E [ ξ | G ] ω E [ ξ | Ω ] σ Ω { , Ω } E [ ξ ] EE[ξ|G](ω)E[ξ|G]ωE[ξ|Ω]σΩ{,Ω}E[ξ]E "Beklenti" terimi, düzenli beklentiyi ve dolayısıyla bir sayıyı, koşullu beklentiyi değil dolayısıyla rastgele bir değişkeni belirtmez.

Ayrıca gösteriminin ne anlama geldiği konusunda şaşkın görünüyorsunuz ; teknik olarak konuşursak, tek tek olaylarda değil , sadece koşullandırma mümkündür , çünkü olasılık önlemleri tek tek olaylarda değil, sadece tam tanımlanır . Bu nedenle, sadece (yavaş) kısaltmadır , anlamına gelir cebri oluşturulan olay göre olduğu, . Not bu ; diğer bir deyişle, ,E [ ξ | A ] σ - σ - E [ ξ | A ] E [ ξ | σ ( A ) ] σ ( A ) σ - A { , A , A c , Ω } σ ( A ) = G = σ ( A c ) E [ ξ | A ] EE[ξ|A]σσE[ξ|A]E[ξ|σ(A)]σ(A)σA{,A,Ac,Ω}σ(A)=G=σ(Ac)E[ξ|A][ ξ | G ] E [ ξ | A c ]E[ξ|G] ve , tamamen aynı nesneyi belirtmek için farklı yollardır .E[ξ|Ac]

Son olarak, yukarıda verdiğim sezgisel açıklamanın, rastgele değişkenin neden değişken değerinin neden açıkladığını eklemek istiyorum. sadece - cebir sahip olabileceğimiz en az miktarda bilgiyi temsil eder, aslında temelde hiçbir bilgi yoktur, bu nedenle bu aşırı koşullar altında rastgele değişken olabileceği en iyi tahmin , sabit değeri olan sabit rastgele değişkendir .E [ ξ | Ω ] = E [ ξ | σ ( Ω ) ] = E [ ξ | { , Ω } ] E [ ξ ] σ - { , Ω } ξ E [ ξ ]E[ξ|Ω]=E[ξ|σ(Ω)]=E[ξ|{,Ω}]E[ξ]σ{,Ω}ξE[ξ]

Not tüm sabit rasgele değişkenlerdir olduğu rastgele değişkenler, ve önemsiz ilgili tüm ölçülebilir cebiri , bu nedenle gerçekten de var olduğu sabit rasgele ortogonal projeksiyonu bir matrisini rastgele değişken aşağıdakilerden oluşan göre ölçülebilir , olduğu iddia edilmiştir.L2L2σσ{,Ω}{,Ω}E[ξ]E[ξ]ξξL2(Ω)L2(Ω){,Ω}{,Ω}


2
@William, nın bir ran var olarak kullanımıyla ilgili size katılmıyorum . Birçok kitap yı ran var değil, bir sayı olarak tanımlar . mümkün olan en iyi tahmindir . Bu yararlı bir kavram ve son derece sezgisel. Tamamen göz ardı etmek, sadece koşan bir var olarak genel bir cond exp kavramına sahip olmanız, pedagojik bir bakış açısından yanlıştır. Bir rv'nin ne olduğu konusunda şaşkın değilim, yazdığım herhangi bir şeyin nasıl böyle düşünmeye yol açacağını da göremiyorum. E[ξ|A]E[ξ|A]E[ξ|A]E[ξ|A]ξ|Aξ|A
Nicolas Bourbaki

1
@William Cond bilgiyi temsil eden ile bir olarak bir tahmin olarak düşünmek, daha önce söylediğim bir şey ama bunu hiç bu kadar düşünmedim ve koşul beklentisini görselleştirmenin farklı bir yolunu bulmaya çalışmadım. Önerinizi kullanarak, basit bir örnek yazacağım ve bunu kendim ve diğer insanlar için bir cevap olarak göndereceğim. Belki de bazı insanlar benim örneğimi detaylandırabilir ve daha egzotik bir örnek verebilir. GG
Nicolas Bourbaki

1
@NicolasBourbaki Durrett'in Olasılık - Teori ve Örneklerinin 4. baskısının s.221'ine bakmanızı tavsiye ederim . Sizi de bu konuyu tartışan diğer kaynaklara yönlendirebilirim. Her durumda, bu bir fikir meselesi değildir - en genel durumda, koşullu bir beklenti rastgele bir değişkendir ve şartlandırma sadece göre yapılır ; bir olaya ilişkin koşullandırma , olayın oluşturduğu için koşullandırmadır ve rasgele bir değişkene göre koşullandırma , RVσσσσσσ
Chill2Macht

3
@William Ve sizi koşulu tanımlayan kaynaklara yönlendirebilirim. exep. olayın gerçek bir sayı olması. Bu noktada neden bu kadar sıkışıp kaldığınızı bilmiyorum. Kavramlar karışık olmadığı sürece herhangi bir şekilde tanımlanabilir. Pedagojik nedenlerden dolayı, prob hakkında bir ders vermek. teori ve anında en genel def içine atlamak, aydınlatıcı değildir. Her iki durumda da, bu tartışmada gerçekten önemli değildir ve şikayetiniz gösterim / anlambilim ile ilgilidir.
Nicolas Bourbaki

1
@NicolasBourbaki Whittle'ın Beklenti Üzerindeki Olasılığı Bölüm 5, her iki koşullu beklentinin karakterizasyonu hakkında çok iyi bir açıklama (bence) ve her tanımın diğer tanımla nasıl ilişkili olduğunu ve motive olduğunu açıklamaktadır. Ayrımın anlambilimin bir parçası olduğu konusunda haklısınız. Daha genel tanım konusundaki hevesim (sanırım) bu bölümü (5'in Whittle'ın Beklenti Yoluyla Olasılığı ) okumanızdan kaynaklanıyor;
Chill2Macht

3

William'ın önerilerini ayrıntılı olarak açıklamaya çalışacağım.

iki kez bir bozuk para atarak örnek alanı olsun . Koşuyu tanımlayın. var. num. deneyde meydana gelen kafalar. Açıkça, . Bir beklenti olarak düşünmenin bir yolu . değeri, temsil, için mümkün olan en iyi . alacağı değer için bir tahmin yapmak zorunda olsaydık, tahmin ederiz . Bunun nedeni , herhangi bir gerçek sayı için .ΩξE[ξ]=11ξξ1E[(ξ1)2]E[(ξa)2]a

Tarafından Göstermek ilk sonuç bir kafa olduğu olay için. Let olmak -alg. gen. tarafından . Biz düşünmek biz ilk atışı sonrasında bildiklerini temsil ettiği düşünülebilir. İlk atıştan sonra kafalardan biri meydana geldi veya kafalar oluşmadı. Bu nedenle, ilk atıştan sonra veya olayındayız .A={HT,HH}G={,A,Ac,Ω}σAGAAc

Biz olay varsa , daha sonra mümkün olan en iyi tahmin olurdu biz olay ise ve , sonra mümkün olan en iyi tahmin olurdu .AξE[ξ|A]=1.5AcξE[ξ|Ac]=0.5

Şimdi koşuyu tanımlayın. var. olduğu, ya ya da olup olmadığına bağlı olarak . Bu kaçtı. var. , daha iyi bir tahmindir itibaren .η(ω)1.50.5ωAη1=E[ξ]E[(ξη)2]E[(ξ1)2]

Ne sorunun cevabını vermektedir yapıyor: en iyi tahmini nedir ilk atışı sonrasında? İlk atıştan sonra bilgileri bilmediğimiz için bağlı olacaktır . olayı bize bildirildikten sonra, ilk sonra değeri belirlenir ve için mümkün olan en iyi tahmini sağlar . ηξηAGηξ

kendi tahmini olarak kullanma sorunu , yani aşağıdaki gibidir. ilk atıştan sonra iyi tanımlanmamıştır. Diyelim ki deneyin sonucu ilk sonuç kafaları olan , biz olayındayız , amaSadece ilk atıştan bilmiyoruz, bu değer bizim için belirsiz ve iyi tanımlanmamış. Daha resmi, biz demek değildir -measurable yani değeri önce atmak sonra iyi tanımlanmış değildir. Dolayısıyla, mümkün olan en iyi tahmindirξ0=E[(ξξ)2]E[(ξη)2]ξωAξ(ω)=?ξξGηξ ilk atıştan sonra.

Belki de buradaki birisi örnek alanı kullanarak ve önemsiz olmayan bir cebiri kullanarak daha karmaşık bir örnek ortaya .[0,1]ξ(ω)=ωGσ


1

Biçimsel tanımın kullanılmamasını talep etmenize rağmen, biçimsel tanımın muhtemelen bunu açıklamanın en iyi yolu olduğunu düşünüyorum.

Wikipedia - koşullu beklenti :

Ardından , olarak belirtilen koşullu X beklentisi , herhangi bir -measurable işlevi ( ) sağlayan:H E(X H ) H Ω R n

H E(X H )d P = H Xd Pher biri içinH H

İlk olarak, ölçülebilir bir fonksiyondur. İkinci olarak, ayarlanan her ölçülebilir (alt) beklentiyi karşılamalıdır . Bir olay için, A, sigma cebri , bu yüzden için sorunuzda belirttiğiniz şekilde açıkça ayarlanır . Benzer şekilde, herhangi bir ayrık rasgele değişken (ve bunların kombinasyonları) için, tüm ilkel olayları listeleriz ve bu ilkel olaya verilen beklentiyi atarız.H H {A,AC,,Ω}ωA/Ac

Şimdi bir jetona sonsuz kez atmayı düşünün, burada her attığımda i alırsınız , paranız kuyruksa, toplam kazancınız burada kuyruklar için = 1 ve kafalar için 0. O zaman X gerçek rastgele bir değişkendir . N jeton fırlattıktan sonra, X'in 1/2 hassasiyetine olan değerini bilirsiniz , örneğin 2 jeton fırlattıktan sonra [0,1 / 4], [1 / 4,1 / 2], [1/2, 3/4] veya [3 / 4,1] - her madalyonun atışından sonra, ilişkili sigma cebiriniz gittikçe daha iyi hale geliyor ve benzer şekilde X'in koşullu beklentisi gittikçe daha kesin hale geliyor.1/2iX=i=112icici[0,1]1/2n

Umarım daha iyi ve daha ince hale gelen bir dizi sigma cebirine sahip gerçek değerli bir rastgele değişken örneği, sizi alıştığınız tamamen olaya dayalı sezgiden uzaklaştırır ve amacını netleştirir.


Özür dilerim, ama bu soruyu reddettim. Aslında sorduğum soruya cevap vermiyor. Daha önce bilmediğim yeni bilgiler de sağlamıyor.
Nicolas Bourbaki

Sana önermeye çalıştığım şey, resmi tanımı anlamıyor olmanın yanı sıra (diğer cevabın da önerdiği gibi) düşündüğünüzü, yani resmi tanım ile sezgisel olmayan bir şey üzerinde çalışmadığınız sürece ilerlemeyeceğinizdir.
seanv507

Resmi tanımı gayet iyi anlıyorum. Sorduğum sorular, resmi tanımlardan çalışırken onlara nasıl cevap verileceğini biliyorum. 'Diğer cevap', con tanımımı kullanmadan sorumu açıklamaya çalışıyordu. tecrübe.
Nicolas Bourbaki
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.