Koşullu temsil düşünmek bir yolu üzerine bir çıkıntı gibidir cebiri .σσGG
( Wikimedia müştereklerinden )
Bu, kareye entegre rastgele değişkenlerden bahsederken gerçekten titizlikle doğrudur; bu durumda aslında rasgele değişkeninin göre ölçülebilen rasgele değişkenlerden oluşan alt . Ve aslında bu bile bazı anlamda gerçek olarak çıkıyor ile yakınlaştırılması yoluyla rastgele değişkenlerin rasgele değişkenler.E [ ξ | G ] E[ξ|G]ξ ξL 2 ( Ω ) L2(Ω)G GL 1 L1L 2L2
(Referanslar için yorumlara bakın.)
Eğer ne kadar bilgimiz olduğunu (stokastik süreçler teorisinde katı olan bir yorum) temsil ettiği düşünülürse, daha büyük daha olası olaylar ve dolayısıyla olası sonuçlar hakkında daha fazla bilgi anlamına gelirken, daha küçük daha az olası olay anlamına gelir ve dolayısıyla olası sonuçlar hakkında daha az bilgi anlamına gelir.σ - σ - σ -σ−σ−σ−
Bu nedenle, çıkıntı -measurable rastgele değişken küçük üzerine cebir değerinin en iyi tahmin alma vasıtasının temin edilebilen daha sınırlı bilgi verilmektedir .F ξ σ - G ξ GFξσ−GξG
Başka bir deyişle, sadece bilgi verilecektir ve bilgilerin tamamı değil , elimizden geleni titiz anlamda olduğu rasgele değişkeninin ne olduğunu tahmin etmek mümkün .G F E [ ξ | G ] ξGFE[ξ|G]ξ
Örneğinizle ilgili olarak, rastgele değişkenleri ve değerlerini karıştırıyor olabileceğinizi düşünüyorum. Rastgele bir değişken , alanı olay alanı olan bir fonksiyondur ; bu bir sayı değil. Başka bir deyişle, , , , .X X : Ω → R X ∈ { f | f : Ω → R } ω ∈ Ω X ( ω ) ∈ RXX:Ω→R X∈{f | f:Ω→R}ω∈ΩX(ω)∈R
Bence şartlı beklenti için gösterim gerçekten kötü, çünkü rastgele bir değişken, yani bir işlev . Aksine, rastgele bir değişkenin (düzenli) beklentisi bir sayıdır . Rastgele bir değişkenin koşullu beklentisi, aynı rastgele değişkenin beklentisinden tamamen farklı bir miktardır, yani ile "tip kontrolü" bile yapmaz .E [ ξ | G ] E [ ξ ]E[ξ|G]E[ξ]
Başka bir deyişle, hem düzenli hem de koşullu beklentiyi belirtmek için sembolünü kullanmak, gösterimin çok büyük bir kötüye kullanımıdır ve bu da çok fazla karışıklığa yol açar.EE
Tüm söylenenler, bir sayıdır (rastgele değişken ) değerinde değerlendirildi , ancak rastgele bir değişkendir, ancak sabit bir rastgele değişken (yani önemsiz dejenere) olduğu ortaya çıkmaktadır, çünkü -algebra , tarafından üretilen önemsiz / dejenere olur ve daha sonra teknik olarak bu sabit rastgele değişkenin sabit değerini , buradaE [ ξ | G ] ( ω ) E [ ξ | G ] ω E [ ξ | Ω ] σ Ω { ∅ , Ω } E [ ξ ] EE[ξ|G](ω)E[ξ|G]ωE[ξ|Ω]σΩ{∅,Ω}E[ξ]E "Beklenti" terimi, düzenli beklentiyi ve dolayısıyla bir sayıyı, koşullu beklentiyi değil dolayısıyla rastgele bir değişkeni belirtmez.
Ayrıca gösteriminin ne anlama geldiği konusunda şaşkın görünüyorsunuz ; teknik olarak konuşursak, tek tek olaylarda değil , sadece koşullandırma mümkündür , çünkü olasılık önlemleri tek tek olaylarda değil, sadece tam tanımlanır . Bu nedenle, sadece (yavaş) kısaltmadır , anlamına gelir cebri oluşturulan olay göre olduğu, . Not bu ; diğer bir deyişle, ,E [ ξ | A ] σ - σ - E [ ξ | A ] E [ ξ | σ ( A ) ] σ ( A ) σ - A { ∅ , A , A c , Ω } σ ( A ) = G = σ ( A c ) E [ ξ | A ] EE[ξ|A]σ−σ−E[ξ|A]E[ξ|σ(A)]σ(A)σ−A{∅,A,Ac,Ω}σ(A)=G=σ(Ac)E[ξ|A][ ξ | G ] E [ ξ | A c ]E[ξ|G] ve , tamamen aynı nesneyi belirtmek için farklı yollardır .E[ξ|Ac]
Son olarak, yukarıda verdiğim sezgisel açıklamanın, rastgele değişkenin neden değişken değerinin neden açıkladığını eklemek istiyorum. sadece - cebir sahip olabileceğimiz en az miktarda bilgiyi temsil eder, aslında temelde hiçbir bilgi yoktur, bu nedenle bu aşırı koşullar altında rastgele değişken olabileceği en iyi tahmin , sabit değeri olan sabit rastgele değişkendir .E [ ξ | Ω ] = E [ ξ | σ ( Ω ) ] = E [ ξ | { ∅ , Ω } ] E [ ξ ] σ - { ∅ , Ω } ξ E [ ξ ]E[ξ|Ω]=E[ξ|σ(Ω)]=E[ξ|{∅,Ω}]E[ξ]σ−{∅,Ω}ξE[ξ]
Not tüm sabit rasgele değişkenlerdir olduğu rastgele değişkenler, ve önemsiz ilgili tüm ölçülebilir cebiri , bu nedenle gerçekten de var olduğu sabit rasgele ortogonal projeksiyonu bir matrisini rastgele değişken aşağıdakilerden oluşan göre ölçülebilir , olduğu iddia edilmiştir.L2L2σσ{∅,Ω}{∅,Ω}E[ξ]E[ξ]ξξL2(Ω)L2(Ω){∅,Ω}{∅,Ω}