Mean = mode simetrik bir dağılım anlamına mı gelir?

Bu sorunun ortalama = ortanca ile sorulduğunu biliyorum, ancak ortalama = mod ile ilgili bir şey bulamadım.

Mod ortalamaya eşitse, bunun simetrik bir dağılım olduğu sonucuna varabilir miyim? Bu şekilde medyanı da bilmek zorunda kalacağım mı?

Mean = mode doesn't imply symmetry.

Even if mean = median = mode you still don't necessarily have symmetry.

And in anticipation of the potential followup -- even if mean=median=mode and the third central moment is zero (so moment-skewness is 0), you still don't necessarily have symmetry.

... but there was a followup to that one. NickT asked in comments if having all odd moments zero was enough to require symmetry. The answer to that is also no. [See the discussion at the end.$^\dagger$]

Those various things are all implied by symmetry (assuming the relevant moments are finite) but the implication doesn't go the other way - in spite of many an elementary text clearly saying otherwise about one or more of them.

Counterexamples are pretty trivial to construct.

Aşağıdaki ayrık dağılımı göz önünde bulundurun:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

0, ortanca, mod ve üçüncü merkezi momenti (ve dolayısıyla moment-çarpıklığı) 0 olduğu anlamına gelir ancak asimetriktir.

Bu tür bir örnek tamamen kesintisiz bir dağılımla da yapılabilir. Örneğin, burada aynı özelliklere sahip bir yoğunluk var:

Bu, -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5'teki araçlarla ve 0.08, 0.08, 0.12, 0.08, 0.28, 0.08 karışım ağırlıklarını içeren simetrik üçgen yoğunlukların (her biri 2 aralıklı) bir karışımıdır. , Sırasıyla 0.08, 0.20. Bunu şimdi yaptığım gerçeği - daha önce hiç görmemiştim - bu davaların ne kadar basit olacağını gösteriyor.

[Modun görsel olarak belirsiz olması için üçgen karışım bileşenlerini seçtim - daha yumuşak bir dağıtım kullanılmış olabilir.]

İşte Hong Ooi'nin bu koşulların ne kadar uzağında size izin verdiğiyle ilgili sorularına hitap eden ek bir örnek. Bu hiçbir şekilde sınırlayıcı bir durum değildir, sadece daha az simetrik görünümlü bir örnek yapmanın basit olduğunu göstermektedir:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

0'daki başak, koşulları değiştirmeden nispeten yüksek veya düşük yapılabilir; benzer şekilde sağa işaret eden nokta, göreceli yükseklikleri 1 ve -2 değerinde çok fazla değiştirmeden (olasılıkta bir düşüş ile) daha uzağa yerleştirilebilir (yani, en doğru hareket ettiğinizde göreceli olasılıkları 2: 1 oranına yakın kalacaktır) eleman hakkında).

NickT'in sorusuna cevap hakkında daha fazla detay

$\dagger$Tüm tuhaf anlar sıfır durumu, sitede birkaç soruyla ele alınmaktadır. Bir örnek var burada ayrıntılarına göre (arsa bakınız) burada (cevabın sonuna doğru bakın). Bu, tüm garip anlar 0 ve ortalama = medyan = mod ile sürekli bir tek modal asimetrik yoğunluktur. Ortanca 50-50 karışım konstrüksiyonu ile 0, mod ise inceleme ile 0'dır - ailenin tüm üyeleri, numunenin yapıldığı gerçek yarı-hattaki tüm üyeler, başlangıçtaki sonlu bir değerden azalan monotonik bir yoğunluğa sahiptir. ve ortalama sıfırdır çünkü tüm tuhaf anlar 0'dır.

Try this set of numbers:

I wouldn't call that distribution symmetrical.

No.

Let $X$ be a discrete random variable with $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$, $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$, and $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$. Obviously, $X$ is not symmetric, but its mean and mode are both 0.

To repeat an answer I gave elsewhere, but fits here too:

which not only has mean, median and mode all equal, but also has zero skewness. Many other versions are possible.